Montrer qu'une suite est majorée et indiquer un majorant

Bonjour, j'aurais besoin d'un petit coup de main pour un exercice de math.

On considère la suite (Un) définie par Un= -n³+3n²+24n-14. Montrer que (Un) est majorée et indiquer un majorant.
On considère la suite ( Wn) définie pour tout entier naturel n, par
Wn= (5-2n) / ( 3n+1 )

a. Montrer que pour tout entier naturel n, Wn + 2/3 = 16/ 9n+3 et en déduire que la suite Wn est minorée par -2/3
b. Montrer que la suite est majorée par 5.
c. Donner deux autres minorants et majorants de cette suite.

Voila ou j'en suis:

j'ai définie la fonction f(x)= -x³+3x²+24x-14 sur R
-j'ai dérivé en f'(x)= -3x²+6x+24. Df'= R
-j'ai calculé delta puis les racines.
-Ensuite j'ai fait le tableau de signe de la dérivée pour trouver le tableau de variation de f(x).
-Au final je trouve que f est decroissante sur ]-∞;-2[ et sur ]4;+∞[ , et qu'elle est croissante sur ]-2;4[.

Enfin j'ai calculé f(-2)=-42 et f(4)=-62
Mais le probleme c'est que je ne suis pas sur d'avoir montré que (Un) est majorée car je ne trouve pas de majorant évident...

bon je viens de me rendre comte de mon erreur, je me suis trompé en calculant l'image de 4. Puisqu'en réalité f(4)=66...
Du coup le majorant est clair, (Un) est majorée par 66 car sur R car f a pour maximum 66.
c'est bon ?

Oui la 1) : 66 est le plus petit majorant la la suite (Un)

Tous les réels supérieurs à 66 de sont majorants de (Un)

Par contre je voudrais bien une piste pour ma question 2,b . J'ai essayé pleins de méthode mais je ne tombe jamais sur 5...

Peut-être le plus rapide est de raisonner par équivalences logiques.

$wn≤5↔5−2n3n+1≤5w_n \le 5 \leftrightarrow \frac{5-2n}{3n+1} \le 5$

n est un naturel, donc 3n+1 > 0

Donc :

$5−2n3n+1≤5↔5−2n≤5(3n+1)↔......↔17n≥0↔n≥0\frac{5-2n}{3n+1} \le 5 \leftrightarrow 5-2n \le 5(3n+1) \leftrightarrow ... ... \leftrightarrow 17n \ge 0 \leftrightarrow n \ge 0$

La dernière inégalité écrite est vraie. Grâce aux équivalences, la première écrite l'est aussi , d'où la réponse prouvée.

D'accord super merci j'ai compris. Mais ça suffit de montrer qu'elle est majorée par 5 car la première égalité est vraie tout comme la dernière qui est n>0 ?
Sinon pour donner deux autres minorants et deux autres majorants j'ai juste a prendre deux nombres en dessous de -2/3 pour les minorants et deux nombres au dessus de 5 pour les majorants ? En gros il n'y a pas de calcul a faire ?

Oui à ta première question , à condition que les inégalités successives soient bien équivalentes ( et n'oublie pas d'écrire les doubles flèches )

Oui pour ta seconde question : aucun calcul à faire

Super merci bien

De rien.

A+