Résolution d'une équation symétrique du 4e degré



  • Bonjour,

    Quelqu'un pourrait-il m'aider pour la 2e question de mon exercice et me dire si ce que j'ai fait est correct ?
    Merci

    Résolution de l'équation symétrique du 4e degré (E) x4−3x3−2x2−3x+1=0x^4-3x^3-2x^2-3x+1=0x43x32x23x+1=0

    1. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E)

    Ici, pas de souci ! Il suffit de remplacer xxx par 0 et de constater qu'on arrive à 1=0
    Donc 0 n'est pas oultion

    1. Montrer que si x0x_0x0 est solution, alors 1x0\frac{1}{x_0}x01 est également solution

    Là, j'ai remplacé xxx par 1x0\frac{1}{x_0}x01 dans (E) et j'ai tout mis sur le même dénominateur.
    Je passe les détails mais j'arrive à : x04−3x03−2x02−3x0+1x04\frac{x_0^4-3x_0^3-2x_0^2-3x_0+1}{x_0^4}x04x043x032x023x0+1. Je constate alors que le numérateur ressemble étrangement à (E) dans l'énoncé. Je pense donc être sur la bonne voie, mais je ne sais pas trop comment continuer.... 😕

    1. Montrer que (E) est équivalente à x2−3x−2−3x+1x2x^2 - 3x -2- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}x23x2x3+x21

    Ici, rien de bien méchant ! Il suffit de diviser (E) par x2x^2x2

    1. Calculer (x+1x)2(x+\frac{1}{x})^2(x+x1)2

    Là non plus, rien de compliqué : (x+1x)2=x2+2+1x2(x+\frac{1}{x})^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}(x+x1)2=x2+2+x21

    1. En posant x=x+1xx=x+\frac{1}{x}x=x+x1 , montrer que l'équation x2−3x−2−3x+1x2=0x^2 - 3x -2- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0x23x2x3+x21=0 se ramène à une équation du second degré

    Voici ce que j'ai fait :
    x2−3x−2−3x+1x2= (x2+1x2)−3x−3x−2= ((x+1x)2−2)−3(x+1x)−2x^2 - 3x -2- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = \ (x^2+\frac{1}{x^2}) - 3x - \frac{3}{x} - 2 = \ ((x+\frac{1}{x})^2-2) - 3(x+\frac{1}{x}) - 2x23x2x3+x21= (x2+x21)3xx32= ((x+x1)22)3(x+x1)2

    Comme j'ai posé x=x+1xx=x+\frac{1}{x}x=x+x1 , j'obtiens alors :
    (x2−2)−3x−2= x2−3x−4=0(x^2-2)-3x-2 = \ x^2-3x-4 = 0(x22)3x2= x23x4=0

    qui est bien une équation du 2d degré

    1. Résoudre cette dernière équation et en déduire les solutions de (E)

    Là aussi, je passe les détails, mais :
    x2−3x−4x^2-3x-4x23x4 admet 2 solutions qui sont x1=−1x_1=-1x1=1 et x2=4x_2=4x2=4

    1er cas: x=−1x=-1x=1 donc x+1x=−1x+\frac{1}{x}=-1x+x1=1
    donc x+1x+1=0x+\frac{1}{x}+1=0x+x1+1=0
    Je multiplie par xxx pour supprimer la fraction et obtenir une équation de 2d degré
    donc x2+x+1=0x^2+x+1=0x2+x+1=0
    Δ=-3<0 ⇒ pas de solution

    2e cas: x=4x=4x=4 donc x+1x=4x+\frac{1}{x}=4x+x1=4
    donc x+1x−4=0x+\frac{1}{x}-4=0x+x14=0
    Je multiplie par xxx pour supprimer la fraction et obtenir une équation du 2d degré
    donc x2−4x+1=0x^2-4x+1=0x24x+1=0

    Après avoir résolu cette 2e équation, je trouve donc finalement 2 solutions pour (E) :

    x1=2−3x_1=2-\sqrt{3}x1=23 et x2=2+3x_2=2+\sqrt{3}x2=2+3

    Merci de m'avoir lu jusque là.
    Je pense m'en être pas trop mal sorti, mais je bloque sur la question 2...


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Pour la 2), il faut partir del'hypothèse (x0(x_0(x0 solution de (E)) (et non de la conclusion à prouver)

    Soit x0x_0x0 solution de (E)

    Donc :

    $x_0^4-3x\0^3-2x_0^2-3x_0+1=0$

    x0x_0x0 est non nul ( tu l'as prouvé à la question 1), donc xxx_04^44 n'est pas nul, donc tu peux diviser par xxx_04^44

    $\frac{x_0^4-3x\0^3-2x_0^2-3x_0+1}{x_0^4}=0$

    1−3(1x0)−2(1x0)3−3(1x0)3+(1x0)4=01-3(\frac{1}{x_0})-2(\frac{1}{x_0})^3-3(\frac{1}{x_0})^3+(\frac{1}{x_0})^4=013(x01)2(x01)33(x01)3+(x01)4=0

    Tu ordonnes :

    (1x0)4−3(1x0)3−2(1x0)3−3(1x0)+1=0(\frac{1}{x_0})^4-3(\frac{1}{x_0})^3-2(\frac{1}{x_0})^3-3(\frac{1}{x_0})+1=0(x01)43(x01)32(x01)33(x01)+1=0

    <strong>1/x0<strong>1/x_0<strong>1/x0 est donc solution de (E)

    CQFD

    *Je n'ai pas lu toute la suite mais les deux solutions que tu as trouvées à la fin sont bonnes *



  • Merci


  • Modérateurs

    De rien.

    A+


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