Résolution d'une équation symétrique du 4e degré



  • Bonjour,

    Quelqu'un pourrait-il m'aider pour la 2e question de mon exercice et me dire si ce que j'ai fait est correct ?
    Merci

    Résolution de l'équation symétrique du 4e degré (E) x43x32x23x+1=0x^4-3x^3-2x^2-3x+1=0

    1. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E)

    Ici, pas de souci ! Il suffit de remplacer xx par 0 et de constater qu'on arrive à 1=0
    Donc 0 n'est pas oultion

    1. Montrer que si x0x_0 est solution, alors 1x0\frac{1}{x_0} est également solution

    Là, j'ai remplacé xx par 1x0\frac{1}{x_0} dans (E) et j'ai tout mis sur le même dénominateur.
    Je passe les détails mais j'arrive à : x043x032x023x0+1x04\frac{x_0^4-3x_0^3-2x_0^2-3x_0+1}{x_0^4}. Je constate alors que le numérateur ressemble étrangement à (E) dans l'énoncé. Je pense donc être sur la bonne voie, mais je ne sais pas trop comment continuer.... 😕

    1. Montrer que (E) est équivalente à x23x23x+1x2x^2 - 3x -2- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}

    Ici, rien de bien méchant ! Il suffit de diviser (E) par x2x^2

    1. Calculer (x+1x)2(x+\frac{1}{x})^2

    Là non plus, rien de compliqué : (x+1x)2=x2+2+1x2(x+\frac{1}{x})^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}

    1. En posant x=x+1xx=x+\frac{1}{x} , montrer que l'équation x23x23x+1x2=0x^2 - 3x -2- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 se ramène à une équation du second degré

    Voici ce que j'ai fait :
    x23x23x+1x2= (x2+1x2)3x3x2= ((x+1x)22)3(x+1x)2x^2 - 3x -2- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = \ (x^2+\frac{1}{x^2}) - 3x - \frac{3}{x} - 2 = \ ((x+\frac{1}{x})^2-2) - 3(x+\frac{1}{x}) - 2

    Comme j'ai posé x=x+1xx=x+\frac{1}{x} , j'obtiens alors :
    (x22)3x2= x23x4=0(x^2-2)-3x-2 = \ x^2-3x-4 = 0

    qui est bien une équation du 2d degré

    1. Résoudre cette dernière équation et en déduire les solutions de (E)

    Là aussi, je passe les détails, mais :
    x23x4x^2-3x-4 admet 2 solutions qui sont x1=1x_1=-1 et x2=4x_2=4

    1er cas: x=1x=-1 donc x+1x=1x+\frac{1}{x}=-1
    donc x+1x+1=0x+\frac{1}{x}+1=0
    Je multiplie par xx pour supprimer la fraction et obtenir une équation de 2d degré
    donc x2+x+1=0x^2+x+1=0
    Δ=-3<0 ⇒ pas de solution

    2e cas: x=4x=4 donc x+1x=4x+\frac{1}{x}=4
    donc x+1x4=0x+\frac{1}{x}-4=0
    Je multiplie par xx pour supprimer la fraction et obtenir une équation du 2d degré
    donc x24x+1=0x^2-4x+1=0

    Après avoir résolu cette 2e équation, je trouve donc finalement 2 solutions pour (E) :

    x1=23x_1=2-\sqrt{3} et x2=2+3x_2=2+\sqrt{3}

    Merci de m'avoir lu jusque là.
    Je pense m'en être pas trop mal sorti, mais je bloque sur la question 2...


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Pour la 2), il faut partir del'hypothèse (x0(x_0 solution de (E)) (et non de la conclusion à prouver)

    Soit x0x_0 solution de (E)

    Donc :

    x043x\032x023x0+1=0x_0^4-3x\0^3-2x_0^2-3x_0+1=0

    x0x_0 est non nul ( tu l'as prouvé à la question 1), donc xx_04^4 n'est pas nul, donc tu peux diviser par xx_04^4

    x043x\032x023x0+1x04=0\frac{x_0^4-3x\0^3-2x_0^2-3x_0+1}{x_0^4}=0

    13(1x0)2(1x0)33(1x0)3+(1x0)4=01-3(\frac{1}{x_0})-2(\frac{1}{x_0})^3-3(\frac{1}{x_0})^3+(\frac{1}{x_0})^4=0

    Tu ordonnes :

    (1x0)43(1x0)32(1x0)33(1x0)+1=0(\frac{1}{x_0})^4-3(\frac{1}{x_0})^3-2(\frac{1}{x_0})^3-3(\frac{1}{x_0})+1=0

    <strong>1/x0<strong>1/x_0 est donc solution de (E)

    CQFD

    *Je n'ai pas lu toute la suite mais les deux solutions que tu as trouvées à la fin sont bonnes *



  • Merci


  • Modérateurs

    De rien.

    A+


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