Résolution d'une équation symétrique du 4e degré

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour la 2e question de mon exercice et me dire si ce que j'ai fait est correct ?
Merci

Résolution de l'équation symétrique du 4e degré (E) $x^4-3x^3-2x^2-3x+1=0$

Vérifier que 0 n'est pas solution de (E)

Ici, pas de souci ! Il suffit de remplacer $x$ par 0 et de constater qu'on arrive à 1=0
Donc 0 n'est pas oultion

Montrer que si $x_0$ est solution, alors $1x0\frac{1}{x_0}$ est également solution

Là, j'ai remplacé $x$ par $1x0\frac{1}{x_0}$ dans (E) et j'ai tout mis sur le même dénominateur.
Je passe les détails mais j'arrive à : $x04−3x03−2x02−3x0+1x04\frac{x_0^4-3x_0^3-2x_0^2-3x_0+1}{x_0^4}$ . Je constate alors que le numérateur ressemble étrangement à (E) dans l'énoncé. Je pense donc être sur la bonne voie, mais je ne sais pas trop comment continuer....

Montrer que (E) est équivalente à $x2−3x−2−3x+1x2x^2 - 3x -2- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}$

Ici, rien de bien méchant ! Il suffit de diviser (E) par $x^2$

Calculer $(x+1x)2(x+\frac{1}{x})^2$

Là non plus, rien de compliqué : $(x+1x)2=x2+2+1x2(x+\frac{1}{x})^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}$

En posant $x=x+1xx=x+\frac{1}{x}$ , montrer que l'équation $x2−3x−2−3x+1x2=0x^2 - 3x -2- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$ se ramène à une équation du second degré

Voici ce que j'ai fait :
$((x+1x)2−2)−3(x+1x)−2x^2 - 3x -2- \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = \ (x^2+\frac{1}{x^2}) - 3x - \frac{3}{x} - 2 = \ ((x+\frac{1}{x})^2-2) - 3(x+\frac{1}{x}) - 2$

Comme j'ai posé $x=x+1xx=x+\frac{1}{x}$ , j'obtiens alors :
$x^2-2)-3x-2 = \ x^2-3x-4 = 0$

qui est bien une équation du 2d degré

Résoudre cette dernière équation et en déduire les solutions de (E)

Là aussi, je passe les détails, mais :
$x^2-3x-4$ admet 2 solutions qui sont $x_1=-1$ et $x_2=4$

1er cas: $x = - 1$ donc $x+1x=−1x+\frac{1}{x}=-1$
donc $x+1x+1=0x+\frac{1}{x}+1=0$
Je multiplie par $x$ pour supprimer la fraction et obtenir une équation de 2d degré
donc $x^2+x+1=0$
Δ=-3<0 ⇒ pas de solution

2e cas: $x = 4$ donc $x+1x=4x+\frac{1}{x}=4$
donc $x+1x−4=0x+\frac{1}{x}-4=0$
Je multiplie par $x$ pour supprimer la fraction et obtenir une équation du 2d degré
donc $x^2-4x+1=0$

Après avoir résolu cette 2e équation, je trouve donc finalement 2 solutions pour (E) :

$x1=2−3x_1=2-\sqrt{3}$ et $x2=2+3x_2=2+\sqrt{3}$

Merci de m'avoir lu jusque là.
Je pense m'en être pas trop mal sorti, mais je bloque sur la question 2...

Bonjour,

Pour la 2), il faut partir del'hypothèse $x_0$ solution de (E)) (et non de la conclusion à prouver)

Soit $x_0$ solution de (E)

Donc :

$x_0^4-3x\0^3-2x_0^2-3x_0+1=0$

$x_0$ est non nul ( tu l'as prouvé à la question 1), donc $x$ _0 $^4$ n'est pas nul, donc tu peux diviser par $x$ _0 $^4$

$\frac{x_0^4-3x\0^3-2x_0^2-3x_0+1}{x_0^4}=0$

$1−3(1x0)−2(1x0)3−3(1x0)3+(1x0)4=01-3(\frac{1}{x_0})-2(\frac{1}{x_0})^3-3(\frac{1}{x_0})^3+(\frac{1}{x_0})^4=0$

Tu ordonnes :

$(1x0)4−3(1x0)3−2(1x0)3−3(1x0)+1=0(\frac{1}{x_0})^4-3(\frac{1}{x_0})^3-2(\frac{1}{x_0})^3-3(\frac{1}{x_0})+1=0$

$strong>1/x_0$ est donc solution de (E)

CQFD

*Je n'ai pas lu toute la suite mais les deux solutions que tu as trouvées à la fin sont bonnes *

Merci

De rien.

A+