Calculer la dérivée du produit de deux fonctions

Bonsoir,

J'aurai besoin d'aide pour résoudre une fonction.

a(x) = x√16-x²

Donc, c'est de la forme u.v avec u(x) = x, u'(x) = 1
Ensuite, √v est de la forme √w avec w(x) = 16-x², w'(x) = 16-2x jusque là ça semble correcte.
Puis, √v = 1/2√w x w' = 1/2√16-x² x 16-2x = 16-2x / 2√16-x²

a'(x) = u.v
a'(x) = u'v+uv'
a'(x) = √16-x² + x(16-2x/2√16-x²)

Est-ce correcte jusque là?
Si oui, je n'arrive pas à continuer.

J'aurai besoin un peu de piste.
Merci d'avance.

Bonjour,

Si tu n'utilises pas le latex, mets suffisamment de parenthèses pour te faire comprendre.

Je suppose que $a(x)=x16−x2a(x)=x\sqrt{16-x^2}$

$\ u'(x)=1$
$v(x)=16−x2v(x)=\sqrt{16-x^2}$
$v'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{16-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{16-x^2}$

Je pense que ton W' est inexact car la dérivée de 16 vaut 0

Au final,

$a′(x)=16−x2−x216−x2a'(x)=\sqrt{16-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}$

En réduisant au même dénominateur, tu dois trouver :

$a′(x)=16−2x216−x2a'(x)=\frac{16-2x^2}{\sqrt{16-x^2}}$

w(x) = 16-x² sa dérivée est donc -2x

L'erreur était au niveau de w' donc, d'accord je vois.

Ensuite ça fait du u'.v + uv'

= (√16-x²) + x(-x/√16-x²)
= (√16-x²) - (x²/√16-x²)

Ensuite, si j'réduis au même dénominateur, la racine carrée "saute" donc cela fait

= 16-x²-x²/(√16-x²)
= 16-2x²/(√16-x²)

Je peux encore simplifier où pas?
La racine au dénominateur je peux l'enlever en élevant au carrée au numérateur ainsi qu'au dénominateur?

Non, tu ne peux rien faire de plus.

En élevant au carré, tu obtiendra (a'(x))² ce qui ne sert à rien.

Le but essentiel d'une dérivée est d'avoir son signe.
L'expression trouvée est très commode pour cela.

Oui, en plus il m'a fallut dérivée pour étudier le sens de variation.

Voilà ce que j'ai trouvé :

Sur I [0;4]

a'(x) = 16-2x²/√16-x²

Comme (√16-x²) > 0, alors a'(x) est du signe de 16-2x²

Il s'agit d'un polynôme du 2nd degré, avec un delta > 0
Donc, deux racines, les voici
x1 = √8
x2 = -√8

Donc, comme on est sur l'intervalle [0;4] ce qui nous interesse nous c'est la racine positive celle égale à √8.

Mon tableau de variation ressemble à ça :

x | 0 √8 4

f'(x) | + 0 - ||

f(x) | 0 →haut 8 →bas 0

Voilà, j'ai fait de mon mieux pour être compréhensible surtout pour le tableau ! ^^

Merci.

C'est bon.