parabole -dérivation

[mimy]

dans un repère orthonormé on considere la parabole d'équation : y=4-x²
M est un point mobile sur la parabole d'abscisse x
prouver que OM²=x^4-7x²+16
je ne comprends pas ce qu'il faut faire
aidez moi s'il vous plaît, merci d'avance

[mtschoon]

Bonsoir ( ici on dit "Bonjour" ou "Bonsoir")

OM²=x²+y²=x²+(4-x²)²

Développe et simplifie pour obtenir la réponse souhaitée.

[mimy]

Bonsoir
Pardon oui excusez moi
Merci de votre réponse et merci de m'avoir aidée

[mimy]

bonjour excusez moi de vous rederangez
j'ai fais la dérivée de f(x)= x^4-7x²+16 ce qui me donne f'(x)= 4x^3-14x
mais je lorsque je veux faire le tableau de signe je trouve ça :
-∞ 0 +∞

( j'ai essayer de le reproduire )
je ne comprends pas où est mon erreur, merci d'avance.

[mtschoon]

si tu parles du signe de f'(x), il faut factoriser f'(x)

$f'(x)=4x^3-14x=4x(x^2-\frac{7}{2})=4x(x-\sqrt {\frac{7}{2}})(x+\sqrt{\frac{7}{2})$

Cherche le signe de ce produit de 3 facteurs.

[mimy]

Merci beaucoup

[mimy]

Merci

est ce que le point M est situé dans l'intervalle ]√7;5[ pour que la distance OM soit minimale ?
et comment on fait pour calculer OM minimale ?
merci d'avance

[mtschoon]

Je viens de voir une erreur dans la factorisation de f'(x) ; c'est rectifié.

$\text{f'(x) s'annule pour x=0, x=-\sqrt{\frac{7}{2}} et x=\sqrt{\frac{7}{2}}$

Si tu as fais l'étude des variations, f est minimale pour $\text{ x=-\sqrt{\frac{7}{2}} et x=\sqrt{\frac{7}{2}}$

$f(x)=o{m}^2$

Donc OM² est minimale pour $\text{ x=-\sqrt{\frac{7}{2}} et x=\sqrt{\frac{7}{2}}$

Pour avoir la valeur minimale de OM² , tu calcules donc $f(\sqrt{\frac{7}{2}})$

Vu que la fonction f est paire , c'est la même valeur que $f(-\sqrt{\frac{7}{2}})$

Pour avoir la valeur minimale de OM, tu prendras la racine carrée de ce que tu auras trouvé.

[mimy]

Merci beaucoup