Donner l'expression d'une fonction de n

Bonjour !

Je suis bloquée dans une question de mon DM et je ne vois pas ce que je peux faire.

On considère la suite $u_n$ définie par $\left{ u_0 = 3 \ u_{n+1} = 4-\frac{4}{u_n} \right$ pour tout entier naturel $n$ .

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $vn=1un−2v_{n} = \frac{1}{u_n - 2}$ . On admet que la suite $v_n$ est bien définie.

Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ .

J'ai trouvé que $vn=1+12nv_n = 1+\frac{1}{2}n$ mais pour $u_n$ , je n'ai pas réussi. Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour,

L'expression de Vn que tu donnes est exacte ( j'espère que tu l'as démontrée )

Si c'est le cas, tu as presque fini .

$vn=1un−2v_n=\frac{1}{u_n-2}$

Vn n'est pas nul, donc :

$un−2=1vnu_n-2=\frac{1}{v_n}$

$un=2+1vnu_n=2+\frac{1}{v_n}$

Il te reste à remplacer Vn par l'expression que tu as trouvée.

Merci beaucoup de votre aide !

Désolée pour l'autre topic.

Soit la suite u(n) définie pour tout entier naturel n > ou égal à 1 par u(n) = $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt {k}$

Justifier que u(n) est strictement croissante et prouver que si k > ou égal à 1 alors $\frac{1}{\sqrt {k}$ > $2$ ( $k+1−k\sqrt {k+1} - \sqrt {k}$ ).

Merci d'avance.

Rebonjour,

*Une précision:

un exercice=un topic

Lorsque tu as une ou plusieurs questions dans un seul exercice, tu ouvres une seule discussion

Lorsque tu as une ou plusieurs questions dans des exercices différents, tu ouvres une discussion par exercice.

Merci de l'appliquer une autre fois.*

Pistes pour ta dernière préoccupation.

Explicite Un et Un+1

$un+1−un=1n+1u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}$

donc

$un+1−un>0u_{n+1}-u_n \gt 0$

d'où la réponse.

Pour la fin : utilise les conjugués.

$k+1−k=k+1−kk+1+k=1k+1+k\sqrt{k+1}-\sqrt k=\frac{k+1-k}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}$

Or

$k+1+k>2k\sqrt{k+1}+\sqrt k \gt 2\sqrt k$

Tu peux déduire facilement l'inégalité souhaitée.

Excusez-moi pour la création d'un autre topic, je saurai à l'avenir.

Je vous remercie pour votre réponse rapide ! Je pense avoir compris maintenant.

Comme dernière question, on me demande d'établir que $u_n$ > 2(√ (n+1) -1) et ce qu'on peut en conclure. Je suppose que je dois réutiliser ce que je trouve à la question précédente.

oui.

$u_n=\bigsum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt k}$

Tu dois utiliser l'inégalité précédemment démontrée n fois, k variant de 1 à n
(tu peux mettre les inégalités les unes en dessous des autres pour mieux voir)

Tu ajoutes ensuite membre à membre et tu simplifies.

Je dois faire ((2(√ (n+1) - √k)) + (2(√ (n+1) - √(k+1))...etc ?

pas tout à fait...

Cette méthode a été utilisée dans ta discussion précédente "suite 2"

Revois- la et tiens nous au courant.