Donner l'expression d'une fonction de n


  • D

    Bonjour !

    Je suis bloquée dans une question de mon DM et je ne vois pas ce que je peux faire.

    On considère la suite unu_nun définie par $\left{ u_0 = 3 \ u_{n+1} = 4-\frac{4}{u_n} \right$ pour tout entier naturelnnn.

    Pour tout entier naturel nnn, on pose vn=1un−2v_{n} = \frac{1}{u_n - 2}vn=un21. On admet que la suite vnv_nvn est bien définie.

    1. Exprimer vnv_nvn puis unu_nun en fonction de nnn.

    J'ai trouvé que vn=1+12nv_n = 1+\frac{1}{2}nvn=1+21n mais pour unu_nun, je n'ai pas réussi. Merci d'avance pour votre aide ! 🙂


  • mtschoon

    Bonjour,

    L'expression de Vn que tu donnes est exacte ( j'espère que tu l'as démontrée )

    Si c'est le cas, tu as presque fini .

    vn=1un−2v_n=\frac{1}{u_n-2}vn=un21

    Vn n'est pas nul, donc :

    un−2=1vnu_n-2=\frac{1}{v_n}un2=vn1

    un=2+1vnu_n=2+\frac{1}{v_n}un=2+vn1

    Il te reste à remplacer Vn par l'expression que tu as trouvée.


  • D

    Merci beaucoup de votre aide !


  • D

    Désolée pour l'autre topic.

    Soit la suite u(n) définie pour tout entier naturel n > ou égal à 1 par u(n) = $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt {k}$

    1. Justifier que u(n) est strictement croissante et prouver que si k > ou égal à 1 alors $\frac{1}{\sqrt {k}$ > 222(k+1−k\sqrt {k+1} - \sqrt {k}k+1k).

    Merci d'avance.


  • mtschoon

    Rebonjour,

    *Une précision:

    un exercice=un topic

    Lorsque tu as une ou plusieurs questions dans un seul exercice, tu ouvres une seule discussion

    Lorsque tu as une ou plusieurs questions dans des exercices différents, tu ouvres une discussion par exercice.

    Merci de l'appliquer une autre fois.*

    Pistes pour ta dernière préoccupation.

    Explicite Un et Un+1

    un+1−un=1n+1u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}un+1un=n+11

    donc

    un+1−un>0u_{n+1}-u_n \gt 0un+1un>0

    d'où la réponse.

    Pour la fin : utilise les conjugués.

    k+1−k=k+1−kk+1+k=1k+1+k\sqrt{k+1}-\sqrt k=\frac{k+1-k}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}k+1k=k+1+kk+1k=k+1+k1

    Or

    k+1+k>2k\sqrt{k+1}+\sqrt k \gt 2\sqrt kk+1+k>2k

    Tu peux déduire facilement l'inégalité souhaitée.


  • D

    Excusez-moi pour la création d'un autre topic, je saurai à l'avenir.

    Je vous remercie pour votre réponse rapide ! Je pense avoir compris maintenant.

    Comme dernière question, on me demande d'établir que unu_nun> 2(√ (n+1) -1) et ce qu'on peut en conclure. Je suppose que je dois réutiliser ce que je trouve à la question précédente.


  • mtschoon

    oui.

    $u_n=\bigsum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt k}$

    Tu dois utiliser l'inégalité précédemment démontrée n fois, k variant de 1 à n
    (tu peux mettre les inégalités les unes en dessous des autres pour mieux voir)

    Tu ajoutes ensuite membre à membre et tu simplifies.


  • D

    Je dois faire ((2(√ (n+1) - √k)) + (2(√ (n+1) - √(k+1))...etc ?


  • mtschoon

    pas tout à fait...

    Cette méthode a été utilisée dans ta discussion précédente "suite 2"

    Revois- la et tiens nous au courant.


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