Devoir maison, dérivées.

Bonsoir !

Alors mon problème en faîte, et que je ne sais pas comment justifier l'attribution d'une courbe à sa représentation graphique. Fin, plutôt les fonction du type 1/u
u étant une fonction polynôme du 2nd degré.

Les deux fonctions sont :
f(x) = x/x² +1 et g(x) = 15/5x²+3

J'avais pensé au départ de dérivée, mais pense pas que cela aurait fonctionner étant donné que ça nous donne juste une autre fonction mais écrite d'une manière différente. Donc je fais appel à vous pour plus de piste.

Merci.

Bonjour,

Lorsque tu écris des quotients, si tu n'utilises pas le latex, mets suffisamment de parenthèses.

Je suppose que :

f(x) = x/(x² +1) et g(x) = 15/(5x²+3)

Si c'est cela, par exemple

f(0)=0 et g(0)=15/2=5

La représention graphique de f passe par le point O(0,0) alors que la représentation graphique de g passe par le point de coordonnées (0,5)

Ah je vois, donc cela suffit comme justification pensez-vous ?

Prendre un antécédent calculer son image et voir ensuite en fonction du résultat la représentation graphique.

Ensuite, ma seconde question est :

Démontrer que les abscisses des points d'intersection de f(x) et g(x) sont les solutions de l'équation 5x³-15x²+3x-15=0

Donc pour cela, il faudrait que je fasse f(x)=g(x)

: x/(x²+1) = 15/(5x²+3)
=> x = 15/(5x²+3) x (x²+1)

Ensuite je réduis au même dénominateur

=> x = 15/(5x²+3) x (x²+1)(5x²+3)
=> x = 15(5x^4 + 3x² + 5x² + 3)/(5x²+3)
=> x = 15(5x^4 + 8x² +3)/(5x²+3)

Jusque là est-ce correcte ?
Merci.

Pour la première question, si l'énoncé te donne seulement deux représentations graphiques et t'indique qu'il s'agit de f et de g :
tu as seulement un problème de choix et la proposition que je t'ai faite est suffisante.

Pour la seconde question, je n'ai pas trop suivi tes calculs, mais je te conseille une méthode simple : les produits en croix

Pour b et d non nuls ( ce qui est le cas dans ton exercice) :

$ab=cd↔ad=bc\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \leftrightarrow ad=bc$

D'accord, mais sinon pour démontrer que les abscisses des points d'intersection de f(x) et g(x) il faut bien faire f(x) = g(x) ?

Donc d'après ta formule, j'ai plus qu'à remplacé et faire tout basculer d'un côté pour arriver à avoir la fonction 5x^3 - 15x² + 3x -15 = 0

La question suivante est de démontrer que l'équation 5x^3-15x²+3x-15=0 admet une unique solution alpha sur [-5;5]

Pour cette question, il faut que j'étudie les variations de la fonction en cherchant toute d'abord ça dérivée puis par la suite normalement obtenir une fonction polynôme du 2nd degré (nrmlt je dois avoir ça : 15x²-30x+3 = 0). Et enfin, j'étudie son signe et j'établis le tableau de variation.

Est-ce la bonne méthode?

oui , c'est la bonne méthode.

Tu étudies les variations de f sur [-5,5]

Ensuite, tu utilises le théorème des valeurs intermédiaires (cas de la bijection).

D'accord.

Pour la fonction 5x^3 - 15x² + 3x - 15 = 0

Je les appelé z

z'(x) = 15x²-30x+3

15x²-30x+3 = 0
x(15x-30+3) = 0
x(15x-27) = 0

Est-ce que la factorisation est correcte?

Donc après cela, je peux trouver les valeurs pour x pour mon tableau de variation

x = 0

15x-27 = 0
15x = 27
x = 27/15
x = 1.8

Ces deux racines tombent bien sur l'intervalle [-5;5]

x -5 0 1,8 5

z'(x) + - +

z(x) f. vers le haut f. bas f. haut

Est-ce juste pour le tableau de variation?

5x^3 - 15x² + 3x - 15 = 0 est une équation ( non une fonction)

Si tu as appelé z(x)= 5x^3 - 15x² + 3x - 15

z'(x) est juste mais la résolution de z'(x)=0 est fausse.

Donc je dis simplement que je vais résoudre l'équation :

5x^3-15x²+3x-15 = 0

Je dérive l'équation,

15x²-30x+3 = 0
=> x(15x-27) = 0

x = 0
et
15x-27 = 0
15x = 27
=> x = 27/15 = 1.8

Ceci est correcte ?

Ta factorisation est fausse

Pour quel raison?

Soit je factorise, ou alors je calcule delta et je trouve 2 racines.

Lequel est le mieux?

Donnez moi une piste pour la factorisation svp...

Ne t'acharne pas à mettre x en facteur , vu que ce n'est pas possible ( à cause du "3" )
Si tu voulais factoriser correctement, il te faudrait passer par la forme canonique !!!
Bien sûr, le plus simple est d'utiliser les formules de résolution des équations du second degré.

Le 3 m'en empêche car lui ne dispose pas d'un x en qq sorte?

Avec delta cela donne

Delta = 720

x1 = -b-√delta/2a = 0.05...

x2 = -b+√delta/2a = 0.947....

Bizarre comme valeurs j'ai dû me tromper qq part vous trouvez pas?!

Δ est bon (tes valeurs approchées ne sont pas très précises).

Rectification !

x1 = -1.9
x2 = -0.1

Valeurs approchés bien sûr

Bon sinon mon tableau de variation

x -5 x1 x2 5

z'(x) + - +

z(x) haut bas haut

Sur [-5;-1,9], z est continue et strictement croissante.
f(-5) = -280 < 0
f(-1.9) ≈ -0.8 < 0

Donc d'après le TVI, z(x) = 0 n'admets pas de solution sur [-5;-1.9]

Sur [-1.9;-0.1], z est continue et strictement décroissante.
f(-1.9) ≈ -0.8 < 0
f(-0.1) ≈ -15.7 < 0

Donc d'après le TVI, z(x) = 0 n'admets pas de solution sur [-1.9;-0.1]

Sur [-0.1;5], z est continue et strictement croissante.
f(-0.1) ≈ -15.7 < 0
f(5) = 1000 > 0

Donc d'après le TVI, z(x) = 0 admets une unique solution sur [-0.1 ; 1000]

f(-0.1) ≈ -15.7
f(5) = 1000

Donc alpha ∈ [-0.1 ; 5]

4°) Déterminer une valeur approcher à 10^-4 prés de alpha.

Pour cette question, j'ai juste à appliquer avec ma calculette pour trouver la valeurs exacte à 1x10^-4 prés

z(0.8) = -0.44
z(0.9) ≈ 3.50
Donc alpha ∈ [0.8 ; 0.9]

z(0.81) ≈ -0.07
z(0.82) ≈ 0.30
Donc alpha ∈ [0.81 ; 0.82]

z(0.811) ≈ -0.03
z(0.812) ≈ 0.003
Donc alpha ∈ [0.811;0812]

z(0.8119) ≈ -6x10^-4
z(0.8120) ≈ 0.0031
Donc alpha ∈ [0.8119 ; 0.8120]

En ccl, alpha ≈ 0.8120

Voilà, j'espère avoir été le + clair possible. ^^

Pour x1 et x2, les signes sont faux.

x1 et x2 sont positifs. Vérifie.

x1 ≈ 0.10

x2 ≈ 1.90

C'est bon maintenant?

Sinon la méthode qui faut appliquer pour le TVI

C'est dire en premier que la fonction est continue, strictement croissante/décroissante sur tel intervalle. Celle que j'ai marqué est correcte ?

Je n'est pas vérifié les valeurs numériques, mais l'dée est la bonne.

Tu as écrit :"Donc d'après le TVI, z(x) = 0 admets une unique solution sur [-0.1 ; 1000] ".
Je suppose que tu as voulu écrire :
Donc d'après le TVI, z(x) = 0 admets une unique solution sur [-0.1 ; 5]

Cependant, évite de remplacer x1 et x2 par 0.10 et 1.90 dans tes explications car ce ne sont que des valeurs approchées.
Utilise les valeurs irrationnelles exactes.

Donc j'utilise 30-√720/30

oui, mais tu peux faire une simplification par 3.

Donc avec les racines que je trouve.

L'unique solution alpha devrait être sur l'intervalle [-5 ; 30-√720/30]

Ne compte pas que je fasse les calculs à ta place !

Pour vérifier, une solution simple .

Sur ta calculette graphique, tu représentes la fonction $y=5x^3-15x^2+3x-15$ , pour x compris entre -5 et 5

Je te conseille de prendre Y compris entre -100 et 100

Tu auras la courbe et tu pourras "voir" l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses et vérifier éventuellement tes calculs.

Bon travail.