Conjecturer le comportement d'une suite à l'infini et démontrer qu'elle est arithmétique

[misschimestry]

Bonjour, je suis en terminal S et je rencontre des difficultés sur un exercice de maths sur les suites arithmétiques.

L’énoncé :
Soit la fonction U défini par U0=1/2 et pour ou entier natrel n Un+1= Un/(1+Un) et la suite t défini sur N par Tn=1/Un+1

1. A laide de la calculatrice conjecturer le comportement à l'infini de la suite : résolue
2. Démontrer que T est arithmétique :
   Je sais qu'une suite arithmétique est tel que Un+1=Un+r ou Un=U0*nr
   mais pour Tn=1/Un+1 je ne vois pas comment faire..
   au départ j'ai considéré Un+1=Tn+1 donc j'ai posé
   Tn+1=1/(Un+1)+1=1/Un/(1+Un) mais ça ne me menait à rien...
   quelles serait mes pistes possible ?
   3)exprimer Tn puis Un en fonction de n :
   Je pense qu'a partir de la résolution précédente je devrais m'en sortir mais ça me bloque
3. En déduire les limite de la suite U:
   J'ai déjà émis une conjecture, je dois la valider je pense ici.

quelqu'un pourrait m'éclairer s'il vous plait ?

[mtschoon]

Bonjour,

Piste pour la suite arithmétique,

Est-ce bien
$t_n=\frac{1}{u_n}+1$ ?

Si c'est le cas :

$t_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}}+1$

$t_{n+1}=\frac{1+u_n}{u_n}+1$

$t_{n+1}=\frac{1}{u_n}+\frac{u_n}{u_n}+1$

$t_{n+1}=\frac{1}{u_n}+1+1$

Tires la conclusion et poursuis?

En regroupant les 2 premiers termes:

$t_{n+1}=(\frac{1}{u_n}+1)+1$

$t_{n+1}=t_n+1$

[misschimestry]

je vois mais je ne comprends pas, comment etes vous passez de la ligne

Tn+1= [1/1+(Un+1) ]+1 à
Tn+1=[1+Un/Un]+1

[mtschoon]

Si tu parles du passage de la première ligne du calcul à la seconde, j'ai remplacé $U_{n+1}$ par son expression en fonction de $U_n$

[misschimestry]

Mais ca devrais faire :
Tn+1= 1/(Un/(1+Un))+1
Comment arrivez vous a la 2e ligne pour Tn+1 ?

[mtschoon]

Inverse d'un quotient :

$\frac{1}{\frac{a}{b}}=1\times \frac{b}{a}=\frac{b}{a}$