loi de probabilité Espérance


  • P

    Salut encore.
    De même j'aimerai qu'on me corrige mes réponses s'il vous plait et merci.

    Exercice:

    Soit m un entier différent de zero. Un casino propose le jeu suivant : contre une mise de m£, on tire simultanément 2 boules dans une urne contenant 2 boules rouges, 4 boules blanches et 4 boules noires. Une boule rouge rapporte 150 £, une boule blanche 50 £ et une boule noire ne rapporte rien. On désigne par la variable aléatoire X, le gain du joueur ( ce qui lui rapporte les boules moins la mise).

    1. Donner la loi de X et calculer son espérance.
    2. Préciser quelle doit être la mise minimale pour qu’en moyenne le jeu soit profitable au joueur.

    Réponses:

    1-Pour faciliter les choses, j'ai travaillé avec l'arbre des probabilités, et j'ai trouvé:
    {X}={-m ; 50-m ; 100-m ; 150-m ; 200-m ; 300-m }

    P(X= -m)= P(N1N2) = 4/10*3/9=2/15
    P(X= 50-m)=16/45
    P(X= 100-m)=2/15
    P(X= 150-m)= 8/45
    P(X=200-m) = 8/45
    P(X=300-m) = 1/45

    E(X)=∑Pi*xi= 100 - m

    2- Je pense qu'on cherche m pour que E(X)≥0 ⇔ m≤100.
    Donc la mise minimale pour que le gain moyen soit profitable nécessite que m ≤ 100£.

    Merci.


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir pinpon,

    C'est correct.
    Pour la question 2, on cherche m tel que E(X) = 0


  • mtschoon

    Bonjour Noemi et Pinpon

    Je la trouve bien bizarre cette question 2...l'énoncé est-il correct ?

    E(x)=0 correspond à "jeu équitable"

    E(X) ≥ 0 correspond à "jeu profitable au joueur"

    Vu que, nécessairement m ≥ 0, le jeu est profitable au joueur pour

    0 ≤ m ≤ 100

    la mise minimale est 0 (c'est une évidence)
    la mise maximale est 100

    Bizarre...


  • P

    L'énoncé est bien correcte, comme écrite sur notre TD, je l'ai bien relis soigneusement, la seule erreur que j'ai commis c'est :
    2. Préciser quelle doit être la mise minimale pour qu’en moyenne le jeu soit profitable à l'organisateur. (et pas le joueur ! )


  • mtschoon

    Effectivement, ton erreur est de taille !

    Pour que le jeu soit favorable à l'organisateur, il doit être défavorable au joueur !

    Jeu défavorable au joueur <=> E(X) ≤ 0

    E(X) ≤ 0 <=> 100-m ≤ 0 <=> m ≥ 100

    la mise minimale pour qu’en moyenne le jeu soitprofitable à l'organisateur ( c'est à dire défavorable au joueur) est donc 100


  • P

    Ah ouiiii, ça donne un sens maintenant !
    Merciiiiiiii !


  • mtschoon

    De rien !

    maintenant, toute est cohérent.


  • P

    Ah en faite, j'ai essayé de trouvé les probabilité sans l'arbre mais avec les combinaisons, pourtant j'ai trouvé un autre valeur concernant deux parmis eux:
    Voila ce que j'ai fait :

    P(X=-a) = P(N1N2) = 4C2 / 10C2 = 6/45
    P(X=50-a) = P(N1B1) + P(B1N2) = ( 4C1 + 4C1 ) / 10C2 + ( 4C1 +4C1 ) / 10C2 = 8/45 + 8/45 =16/45
    P(X=100-a) = P(B1B2) = 4C2/10C2 = 6/45
    P(X=150-a) = P(N1R2) + P(R1N2) = (4C1+2C1)/10C2 + (2C1+4C1)/10C2 = 6/45 + 6/45 = 12/45 ce qui ne correspond pas au résultat trouvé par l'arbre qu'est 8/45

    Mais j'ai remarqué que lorsque de calcule la probbilité de la manière suivante je trouve le nombre exacte: P(X=150-a) = (4C1 * 2C1)/10C2 = 8/45.
    Pour me rassurer, j'ai appliqué cette méthode pour P(X=50-a)

    Mais je ne sait pas si cette méthose est correcte.

    Veuiller s'il vous plait encore un fois m'aider.


  • mtschoon

    Je ne sais pas trop comment tu as raisonné avec les combinaisons (ce qui est la démarche la plus normale vu que l'on choisit les 2 boules simultanément).

    Je pense que tu as appelé "a" ce que tu as appelé "m" précédemment ( la mise)

    Je te mets le principe :

    Nombre de façons de choisir 2 boules parmi 10 :

    (102)=45{{10}\choose{2}}=45(210)=45

    Nombre de façons de choisir 2 boules noires parmi 4 :

    (42)=6{{4}\choose{2}}=6(24)=6

    Donc

    p(x=−a)=645p(x=-a)=\frac{6}{45}p(x=a)=456

    Nombre de façons de choisir 1 boule noire parmi 4 et 1 boule blanche parmi 4:

    (41)×(41)=4×4=16{{4}\choose{1}}\times {{4}\choose{1}}=4 \times 4=16(14)×(14)=4×4=16

    Donc

    p(x=50−a)=1645p(x=50-a)=\frac{16}{45}p(x=50a)=4516

    Nombre de façons de choisir 2 boules blanches parmi 4 :

    (42)=6{{4}\choose{2}}=6(24)=6

    Donc

    p(x=100−a)=645p(x=100-a)=\frac{6}{45}p(x=100a)=456

    Nombre de façons de choisir 1 boule noire parmi 4 et 1 boule rouge parmi 2:

    (41)×(21)=4×2=8{{4}\choose{1}}\times {{2}\choose{1}}=4 \times 2=8(14)×(12)=4×2=8

    Donc

    p(x=150−a)=845p(x=150-a)=\frac{8}{45}p(x=150a)=458

    Lorsque tu as compris, tu traites de la même façon P(X=200-a) et P(X=300-a)

    Ensuite, pour vérifier, tu fais la somme des probabilités et tu dois trouver 1:

    645+1645+645+845+845+145=4545=1\frac{6}{45}+\frac{16}{45}+\frac{6}{45}+\frac{8}{45}+\frac{8}{45}+\frac{1}{45}=\frac{45}{45}=1456+4516+456+458+458+451=4545=1


  • P

    Ah d'accord, maintenant je sais comment faire, et j'ai trouvé les mêmes résultats, c'est bon donc. Merci pour la clarification.


  • mtschoon

    De rien !

    Bon travail


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