loi de probabilité Espérance

Salut encore.
De même j'aimerai qu'on me corrige mes réponses s'il vous plait et merci.

Exercice:

Soit m un entier différent de zero. Un casino propose le jeu suivant : contre une mise de m£, on tire simultanément 2 boules dans une urne contenant 2 boules rouges, 4 boules blanches et 4 boules noires. Une boule rouge rapporte 150 £, une boule blanche 50 £ et une boule noire ne rapporte rien. On désigne par la variable aléatoire X, le gain du joueur ( ce qui lui rapporte les boules moins la mise).

Donner la loi de X et calculer son espérance.
Préciser quelle doit être la mise minimale pour qu’en moyenne le jeu soit profitable au joueur.

Réponses:

1-Pour faciliter les choses, j'ai travaillé avec l'arbre des probabilités, et j'ai trouvé:
{X}={-m ; 50-m ; 100-m ; 150-m ; 200-m ; 300-m }

P(X= -m)= P(N1N2) = 4/10*3/9=2/15
P(X= 50-m)=16/45
P(X= 100-m)=2/15
P(X= 150-m)= 8/45
P(X=200-m) = 8/45
P(X=300-m) = 1/45

E(X)=∑Pi*xi= 100 - m

2- Je pense qu'on cherche m pour que E(X)≥0 ⇔ m≤100.
Donc la mise minimale pour que le gain moyen soit profitable nécessite que m ≤ 100£.

Merci.

Bonsoir pinpon,

C'est correct.
Pour la question 2, on cherche m tel que E(X) = 0

Bonjour Noemi et Pinpon

Je la trouve bien bizarre cette question 2...l'énoncé est-il correct ?

E(x)=0 correspond à "jeu équitable"

E(X) ≥ 0 correspond à "jeu profitable au joueur"

Vu que, nécessairement m ≥ 0, le jeu est profitable au joueur pour

0 ≤ m ≤ 100

la mise minimale est 0 (c'est une évidence)
la mise maximale est 100

Bizarre...

L'énoncé est bien correcte, comme écrite sur notre TD, je l'ai bien relis soigneusement, la seule erreur que j'ai commis c'est :
2. Préciser quelle doit être la mise minimale pour qu’en moyenne le jeu soit profitable à l'organisateur. (et pas le joueur ! )

Effectivement, ton erreur est de taille !

Pour que le jeu soit favorable à l'organisateur, il doit être défavorable au joueur !

Jeu défavorable au joueur <=> E(X) ≤ 0

E(X) ≤ 0 <=> 100-m ≤ 0 <=> m ≥ 100

la mise minimale pour qu’en moyenne le jeu soitprofitable à l'organisateur ( c'est à dire défavorable au joueur) est donc 100

Ah ouiiii, ça donne un sens maintenant !
Merciiiiiiii !

De rien !

maintenant, toute est cohérent.

Ah en faite, j'ai essayé de trouvé les probabilité sans l'arbre mais avec les combinaisons, pourtant j'ai trouvé un autre valeur concernant deux parmis eux:
Voila ce que j'ai fait :

P(X=-a) = P(N1N2) = 4C2 / 10C2 = 6/45
P(X=50-a) = P(N1B1) + P(B1N2) = ( 4C1 + 4C1 ) / 10C2 + ( 4C1 +4C1 ) / 10C2 = 8/45 + 8/45 =16/45
P(X=100-a) = P(B1B2) = 4C2/10C2 = 6/45
P(X=150-a) = P(N1R2) + P(R1N2) = (4C1+2C1)/10C2 + (2C1+4C1)/10C2 = 6/45 + 6/45 = 12/45 ce qui ne correspond pas au résultat trouvé par l'arbre qu'est 8/45

Mais j'ai remarqué que lorsque de calcule la probbilité de la manière suivante je trouve le nombre exacte: P(X=150-a) = (4C1 * 2C1)/10C2 = 8/45.
Pour me rassurer, j'ai appliqué cette méthode pour P(X=50-a)

Mais je ne sait pas si cette méthose est correcte.

Veuiller s'il vous plait encore un fois m'aider.

Je ne sais pas trop comment tu as raisonné avec les combinaisons (ce qui est la démarche la plus normale vu que l'on choisit les 2 boules simultanément).

Je pense que tu as appelé "a" ce que tu as appelé "m" précédemment ( la mise)

Je te mets le principe :

Nombre de façons de choisir 2 boules parmi 10 :

$(102)=45{{10}\choose{2}}=45$

Nombre de façons de choisir 2 boules noires parmi 4 :

$(42)=6{{4}\choose{2}}=6$

Donc

$p(x=−a)=645p(x=-a)=\frac{6}{45}$

Nombre de façons de choisir 1 boule noire parmi 4 et 1 boule blanche parmi 4:

$(41)×(41)=4×4=16{{4}\choose{1}}\times {{4}\choose{1}}=4 \times 4=16$

Donc

$p(x=50−a)=1645p(x=50-a)=\frac{16}{45}$

Nombre de façons de choisir 2 boules blanches parmi 4 :

$(42)=6{{4}\choose{2}}=6$

Donc

$p(x=100−a)=645p(x=100-a)=\frac{6}{45}$

Nombre de façons de choisir 1 boule noire parmi 4 et 1 boule rouge parmi 2:

$(41)×(21)=4×2=8{{4}\choose{1}}\times {{2}\choose{1}}=4 \times 2=8$

Donc

$p(x=150−a)=845p(x=150-a)=\frac{8}{45}$

Lorsque tu as compris, tu traites de la même façon P(X=200-a) et P(X=300-a)

Ensuite, pour vérifier, tu fais la somme des probabilités et tu dois trouver 1:

$645+1645+645+845+845+145=4545=1\frac{6}{45}+\frac{16}{45}+\frac{6}{45}+\frac{8}{45}+\frac{8}{45}+\frac{1}{45}=\frac{45}{45}=1$

Ah d'accord, maintenant je sais comment faire, et j'ai trouvé les mêmes résultats, c'est bon donc. Merci pour la clarification.

De rien !

Bon travail