Raisonnement par disjonction des cas

Slt,

Je voudrais savoir si mon exercice est bon et s'il y a des choses à modifier dedans svp

Voici l'énoncé:

n désigne un nombre entier naturel
Démontrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6

J'ai fait un raisonnement par disjonction des cas

AInsi les restes possible de la division euclidienne par 6 sont 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
donc n est congru à 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 modulo 6
1er cas
n≡ 0 [6]
n²≡0 [6]
n(n+1)≡ 0 [6]
n(n+1)(2n+1) ≡ 0 [6]

2ème cas
n≡ 1 [6]
n²≡ 1 [6]
n(n+1) ≡ 2[6]
n(n+1)(2n+1)≡ 6 [6]
soit n(n+1)(2n+1)≡ 0 [6]

3ème cas
n≡ 2 [6]
n²≡ 4 [6]
n(n+1)≡ 6 [6]
soit n(n+1) ≡ 0 [6]
n(n+1)(2n+1) ≡ 0 × 5 [6]
donc n(n+1)(2n+1) ≡ 0

4ème cas
n≡ 3 [6]
n²≡ 9 [6]
n(n+1) ≡ 12 [6]
soit n(n+1)≡ 0 [6]
n(n+1)(2n+1) ≡ 0 × 7 [6]
donc n(n+1)(2n+1) ≡ 0

5ème cas
n≡ 4 [6]
n²≡ 16 [6]
n(n+1)≡ 20 [6]
soit n(n+1)≡ 2 [6]
n(n+1)(2n+1)≡ 2 × 0 [6] ou n(n+1)(2n+1)≡ 180 [6] donc n(n+1)(2n+1)≡ 0 [6] (je ne sais pas pour celui la)

6ème cas
n≡ 5 [6]
n² ≡ 25 [6]
n(n+1)≡ 30 [6]
soit n(n+1)≡ 0 [6]
n(n+1)(2n+1) ≡ 0 × 11 [6]
donc n(n+1)(2n+1) ≡ 0 [6]

Ainsi pour tout n ∈ N , n(n+1)(2n+1)≡ 0 [6] et est ainsi divisible par 6

Est-ce bon ? Merci pour vos réponses

Bonjour,
Je ne comprends pas ce que vient faire n² ?
Pas besoin d'envisager n ≡ 6 puisque c'est aussi congru à 0.
Par disjonction de cas, tu peux aller plus vite :
L'un des deux nombres consécutifs n ou (n+1) est forcément pair.
Reste à voir si le produit donné est multiple de 3 : cela ne fait que 3 cas au lieu de 6.