Raisonnement par disjonction des cas



  • Slt,

    Je voudrais savoir si mon exercice est bon et s'il y a des choses à modifier dedans svp

    Voici l'énoncé:

    n désigne un nombre entier naturel
    Démontrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6

    J'ai fait un raisonnement par disjonction des cas

    AInsi les restes possible de la division euclidienne par 6 sont 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
    donc n est congru à 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 modulo 6
    1er cas
    n≡ 0 [6]
    n²≡0 [6]
    n(n+1)≡ 0 [6]
    n(n+1)(2n+1) ≡ 0 [6]

    2ème cas
    n≡ 1 [6]
    n²≡ 1 [6]
    n(n+1) ≡ 2[6]
    n(n+1)(2n+1)≡ 6 [6]
    soit n(n+1)(2n+1)≡ 0 [6]

    3ème cas
    n≡ 2 [6]
    n²≡ 4 [6]
    n(n+1)≡ 6 [6]
    soit n(n+1) ≡ 0 [6]
    n(n+1)(2n+1) ≡ 0 × 5 [6]
    donc n(n+1)(2n+1) ≡ 0

    4ème cas
    n≡ 3 [6]
    n²≡ 9 [6]
    n(n+1) ≡ 12 [6]
    soit n(n+1)≡ 0 [6]
    n(n+1)(2n+1) ≡ 0 × 7 [6]
    donc n(n+1)(2n+1) ≡ 0

    5ème cas
    n≡ 4 [6]
    n²≡ 16 [6]
    n(n+1)≡ 20 [6]
    soit n(n+1)≡ 2 [6]
    n(n+1)(2n+1)≡ 2 × 0 [6] ou n(n+1)(2n+1)≡ 180 [6] donc n(n+1)(2n+1)≡ 0 [6] (je ne sais pas pour celui la)

    6ème cas
    n≡ 5 [6]
    n² ≡ 25 [6]
    n(n+1)≡ 30 [6]
    soit n(n+1)≡ 0 [6]
    n(n+1)(2n+1) ≡ 0 × 11 [6]
    donc n(n+1)(2n+1) ≡ 0 [6]

    Ainsi pour tout n ∈ N , n(n+1)(2n+1)≡ 0 [6] et est ainsi divisible par 6

    Est-ce bon ? Merci pour vos réponses



  • Bonjour,
    Je ne comprends pas ce que vient faire n² ?
    Pas besoin d'envisager n ≡ 6 puisque c'est aussi congru à 0.
    Par disjonction de cas, tu peux aller plus vite :
    L'un des deux nombres consécutifs n ou (n+1) est forcément pair.
    Reste à voir si le produit donné est multiple de 3 : cela ne fait que 3 cas au lieu de 6.


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