Une démonstration de limite

Bonjour à tous,

Un ami et moi avons un petit souci sur une démonstration concernant les limites de fonction !

Notre professeur nous a demandé de prouver que: lim quand x→-∞ de x² - 4x + 8 = +∞

Nous avons pour consigne d'utiliser les définitions du cours, notamment celle-ci:
''On dit que la fonction f admet pour limite +∞ en +∞ si pour tout A>0, il existe une valeur de x à partir de laquelle toutes les valeurs de f(x)sont plus grandes que A''

Votre aide nous ferai très plaisir
Merci d'avance

Bonjour,
Il y a plusieurs méthodes, mais si tu dois utiliser celle qui est imposée, tu dois te donner un nombre A positif (non déterminé).
En transformant l'écriture de x² - 4x + 8 (forme canonique), il te suffit alors de choisir x > 2 + √(A-4)
Vérifie mes calculs effectués un peu rapidement.

Merci beaucoup mathous de m'avoir aussi vite apporté ton aide! J'ai vérifié, tes calculs sont corrects
Au niveau de la rédaction, est-ce que ceci conviendrait:

f(x)=x²-4x+8
La fonction f admet pour limite +∞ en -∞ si pour tout A>0, il existe une valeur de x à partir de laquelle toutes les valeurs de f(x) sont plus grandes que A
On a donc, x²-4x+8 > A
Calcul de la forme canonique de f(x):
...
x > 2+√(A-4)
On en déduit que pour tout x > 2+√(A-4), lim -∞ f(x)=+∞
(je sais pas trop comment conclure)

Tu te répètes me semble-t-il définition indiquée deux fois).
f(x) = (x-2)² + 4
Soit A > 0
Si A < 4 (il ne faut pas oublier la racine carrée ...), n'importe quel x convient : (x-2)² + 4 ≥ 4 >A
Si A ≥ 4 (cas général : on choisit d'ordinaire A "aussi grand qu'on veut"):
Si x > 2 + √(A-4),
alors x-2 > √(A-4)
donc (x-2)² > A-4
donc (x-2)² + 4 > A
En résumé (c'est maintenant que tu peux citer la définition):
Pour tout nombre A positif, il existe une valeur de x (ici 2 + √(A-4)) telle que si x est supérieur à cette valeur, alors f(x) > A.
Cela veut dire que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞.

En effet, la définition que tu donnes est valable quand x tend vers +∞
Mais la question posée c'est lorsque x tend vers -∞ ?
Il faut donc adapter la démonstration à ce cas-là (la définition est légèrement différente : tu dois l'avoir en cours.

Oui on cherche à savoir la limite quand x tend vers -∞ mais la définition n'est pas dans mon cours

Tu peux adapter la définition précédente :
f(x) → +∞ quand x→-∞ s'il existe un nombre B (qu'on peut supposer négatif) tel que x A.

Mais cela peut être inutile si tu sais que x² → +∞ lorsque x → -∞

Merci mais dans ta démonstration, je ne comprend pas quand tu dis:
Soit A > 0
Si A < 4 (il ne faut pas oublier la racine carrée ...), n'importe quel x convient : (x-2)² + 4 ≥ 4 >A
Si A ≥ 4 (cas général : on choisit d'ordinaire A "aussi grand qu'on veut"):

Quel cas faut-il choisir?

Comme on veut une limite qui soit +∞, on peut prendre A positif (et même "très grand").
Mais si on veut être très rigoureux, A est à priori quelconque. On ne choisit pas l'un des deux cas : on remarque que chacun convient.

Ca te dérangerai de rédiger la démonstration parce que j'ai un peu de mal à comprendre, surtout le début. En tout cas merci pour ce que tu as déjà fait !!

J'ai rédigé celle avec x→+∞
Celle que tu me demandes c'est bien avec x→-∞ ?

oui c'est ça

Soit A un nombre positif que l'on peut supposer supérieur à 4 (ainsi, tu ne t'embêteras pas avec deux cas).
Je cherche un nombre B (de préférence négatif) tel que x A.
Je choisis B = 2 - √(A-4).
Vérifie que cela convient.

oui ca convient mais c'est quoi la suite?

IL n'y a pas de suite.
Quand je te demande si cela convient, je veux dire que tu dois effectuer les calculs afin de vérifier.

tu pourrais les faire stp

Il suffit de calquer cette démonstration sur celle que j'avais faite.
Mais tu vas te poser la question des signes.
Retiens tout de même ceci :
S a² < m (m positif) alors rien n'indique le signe de a.
Mais quand même :
Si a² < m, alors -√m < a < √m.

Si ici, x < 2 - √(A-4),
alors x-2 < -√(A-4)
donc (x-2)² < A-4 (qui est positif)
donc (x-2)²+4 < A :
Donc, en prenant B = 2 - √(A-4) (qui est négatif dès que A est "grand"), la définition s'applique.

et en rédaction complète ça donne quoi?

Soit A un nombre supérieur à 4.
Soit B le nombre B = < 2 - √(A-4)
Si x < B, alors
.... calculs effectués ci-dessus
alors f(x) > A
Puisque pour tout nombre A il existe un nombre B tel que x A, cela signifie que f(x) → +∞ lorsque x → -∞.

Mais en TS, tu devrais savoir adapter une démonstration à un problème voisin.

Comment trouves-tu B=<2-√(A-4) ?

De la même manière que j'avais trouvé 2 + √(A-4) : en raisonnant à l'envers.
Je veux (x-2)² +4 > A
donc je souhaite (x-2)² > A - 4
Souviens-toi de mon message avec a et m :
-√(A-4) < x-2 < √(A-4)
2- √(A-4) < x < 2+ √(A-4)
Mais ici, je souhaite que x soit supérieur à un certain nombre négatif (contrairement à la première démonstration où je voulais que x soit supérieur à un certain nombre positif).
D'où mon choix.

peux-tu tout rédiger de A à Z? Merci

Tu exagères !
Je ne vais pas tout recommencer, d'autant qu'il te suffit
a) d'écrire f(x) sous forme canonique
b) de remplacer mes pointillés (post de 16h 39) par les calculs déjà indiqués (post de 16h 29).

Serait-ce possible d'utiliser ce que tu as dit auparavant
Mais cela peut être inutile si tu sais que x² → +∞ lorsque x → -∞
Cela éviterai peut-être l'utilisation de B

Lorsque x→-∞
alors x-2 x→-∞
donc (x-2)² → +∞ (ici, le rôle de "x" est joué par x-2)
donc (x-2)² + 4 → +∞

Ne serait-ce pas un peu trop facile?

Attention :

ou bien tu as vu les théorèmes généraux sur les limites, et dans ce cas tu peux appliquer ce qui précède, ou encore dire que la limite est la même que celle du terme de plus haut degré (x²)
ou bien tu dois impérativement appliquer les définitions, et dans ce cas, mon précédent post n'est qu'un schéma : chaque ligne doit être justifiée en appliquant ces définitions.

Je ne veux pas tout faire, mais je te donne quand même l'exemple du passage de la première à la seconde ligne :
Soit A un réel quelconque (qu'on peut supposer négatif puisque x va tendre vers -∞).
On cherche B tel que si x < B alors x-2 < A : il suffit de prendre B = A+2
Ainsi, si x < A+2, alors x-2 < A : c'est la définition que x-2 tend vers -∞ lorsque x tend vers -∞.

J'abandonne, de toute façon j'y comprends rien!
En tout cas merci beaucoup mathtous mais je vais pas presentee une demonstration sans la comprendre

Tu dois comprendre les définitions, même si tu ne rends pas l'exercice.
Fais des schémas avec des droites graduées.
x tend vers +∞ signifie qu'il peut devenir aussi grand qu'on veut, donc être plus grand que tout nombre A choisi (donné).
Cela est vrai pour une fonction f(x) : elle tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ si elle devient aussi grande qu'on veut pourvu que x soit assez grand.
D'où la définition : f(x) → +∞ lorsque x→ +∞ ⇔
Pour tout A, il existe B tel que x > B implique f(x) > A.
Prends des exemples, par exemple f(x) = x².
Choisis des valeurs de plus en plus grandes pour x, et calcule leurs images : tu vois que ces images aussi deviennent de plus en plus grandes.
si on souhaite f(x) (ici x²) > A (positif), il suffit que x soit plus grand que √A (qui représente le B de la définition).

Ca j'ai compris mais c'est les étapes, comment passer d'un cetrain resultat a un autre que je comprend pas.. Ce serait trop cool que tu prennes un peu de temps pour la rediger en entière, peut-être que cela me permettrai de comprendre

Je vais reprendre la démonstration initiale : elle n'est ni plus longue ni plus compliquée que celle avec les "étapes" puisqu'il faudrait justifier chaque étape.

Soit A > 0. On cherche B tel que x A : c'est la définition de f(x) → +∞ lorsque x → -∞.

On souhaite donc que (x-2)² + 4 > A
donc que (x-2)² > A-4
Je vais prendre les racines carrées, mais attention, ici x est négatif puisqu'on le fait tendre vers -∞. Donc √(x-2)² = 2-x (et pas x-2).
On veut donc que 2 - x > √(A-4)
Donc que x < 2 - √(A - 4)
Je viens de faire la recherche d'un B possible.
Maintenant, je rédige "à l'endroit" :

Soit A > 0, il existe B = 2 - √(A - 4) tel que :
si x √(A - 4)
Donc (2-x)² = (x-2)² > A - 4
Donc (x-2)² + 4 > A
Donc f(x) > A.
En résumé, pour tout nombre A > 0 , il existe un nombre B (ici B = 2 - √(A - 4)) tel que x A.
Ce qui signifie, par définition, que f(x) → +∞ lorsque x → -∞

Je ne peux pas faire plus.

Ah merci c'est trop cool !

Tout de même, médite sur ces définitions.
Sans doute as-tu vu les théorèmes généraux (limite d'une somme, d'un produit, ...) : on démontre ces théorèmes en revenant aux définitions.

J'aimerai avoir un peu plus de précision sur ceci:
Je vais prendre les racines carrées, mais attention, ici x est négatif puisqu'on le fait tendre vers -∞. Donc √(x-2)² = 2-x (et pas x-2)
Le -2 se transforme en +2 ; pourquoi?

Non : aucun tour de passe-passe.
soit a = +3 : √(a²) = √(+3)² = √9 = +3 = a
Soit maintenant a = -3 : on recommence :
√(a²) = √(-3)² = √9 = +3 = -(-3) = -a : l'opposé de a.
Ainsi, dans ton problème, x-2 est négatif (comme ci-dessus -3).
Donc √(x-2)² = -(x-2) = -x + 2 ou 2-x

En clair, la racine carée nous laisse le choix entre un nombre et son opposé?

Non.

le symbole √A exige que A soit positif ou nul.
Le résultat (la racine carrée de A) est lui-même un nombre positif ou nul.
C'est le nombre positif dont le carré vaut A : (√A)² = A

Le deuxième point contredit ta remarque : le résultat est toujours positif. Ici, 2-x est positif (puisque son opposé x-2 est négatif).

Attention à ne pas confondre (√A)² = A (qui fait partie de la définition) avec √(a²) qui peut valoir a ou -a selon que a est positif ou négatif.
En résumé, √(a²) = |a|.
Quand tu lis -a, cela ne désigne pas nécessairement un nombre négatif : cela désigne l'opposé de a.