Inverse d'une fonction


  • Y

    Bonjour à tous,

    Je suis bloqué dans mon devoir maison, voici le sujet :

    Soit la fonction f définie sur R par f(x)=x^2-6x+11.

    1] Dresser sans justification le tableau de variation de la fonction f.
    J'ai fait cette question : courbe décroissante de -infinie a x=3 et ensuite elle est croissante. ( le minimum étant donc atteint pour x=3 et f(3)=2 )

    2] Soit la fonction g définie sur R par g(x)=1/f(x)
    a) Dresser en le justifiant le tableau de variation de la fonction g.
    b) Faire un tableau de valeurs, puis construire la courbe représentative Cg de la fonction g dans le repère (O;I;J)

    Je pense que de l'aide pour la question 2)a serait suffisant pour m'aider a finir mon exercice,
    Merci d'avance ! 🙂


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Oui pour ta question 1)

    Pistes pour la 2)

    Lorsque f est strictement positive et croissante sur un intervalle, alors g est strictement positive et décroissante sur cet intervalle

    Lorsque f est strictement positive et décroissante sur un intervalle, alors g est strictement positive et croissante sur cet intervalle

    Le maximum de g est de 1/2 pour x=3

    Lorsque x tend vers -∞ et vers +∞ , f(x) tend vers +∞ donc g(x) tend vers 0

    Avec ces indications, tu dois pouvoir faire le tableau de variation de g


  • Y

    Donc si j'ai bien compris, je fais :

    u<v<3
    u-3<v-3<0
    et je continu jusqu'a obtenir f(u)
    1/f(v)

    et donc : u>v>3
    u-3>v-3>0
    et je continu aussi jusqu'à obtenir f(u)>f(v) et donc 1/f(u)<f(v)

    Merci de me dire si je suis sur la bonne voie ou alors si je me suis trompé. 🙂


  • mtschoon

    Je regarde ton raisonnement, mais je trouve cela confus.

    1er cas :u≤v≤3u \le v \le 3uv3

    Vu que f est décroissante sur l'intervalle ]-∞,3] :f(u)≥f(v)f(u) \ge f(v)f(u)f(v)

    f prend des valeurs strictement positives

    En prenant l'inverse de chaque membre de l'inégalité précédente :

    1f(u)≤1f(v)\frac{1}{f(u)} \le \frac{1}{f(v)}f(u)1f(v)1

    c'est à dire :g(u)≤g(v)g(u) \le g(v)g(u)g(v)

    donc g est croissante sur ]-∞, 3]

    Tu appliques le même raisonnement pour prouver que f est décroissante sur [3,+∞[


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