Lois de probabilités

Bonjour, j'ai un exo à rendre pour demain de probabilité mélanger avec suites. Voici l'énoncé :

Dans une population 10% des personnes sont atteintes d'une maladie détectable par une analyse de sang. En dehors de l'examen individuel (une analyse par personne), il existe une autre méthode de détection appelée méthode de l'examen collectif. Elle consiste à analyser le sang mélangé de n personne (n1). Si le résultat est négatif, c'est clair : aucune de ces personnes n'est malade. Sinon, on procède alors à l'analyse de chacune des n personnes. Dans ce derniers cas, on aura recours au total à n+1 analyses.
La question est de savoir s'il existe un entier n (et dans ce cas de le déterminer) pour lequel le nombre moyen d'analyses à effectuer sera minimal.

Soit Xn la variable aléatoire << nombre d'analyses nécessaires pour un groupes de n personnes. >>

Donner la loi de probabilité Xn et calculer son espérance E(Xn).
En déduire que le nombre moyen d'anlyses que l'on doit éffetecuer par personne est 1-((0.9)^n - 1/n)

Je sais comment calculer l'espérance ainsi que donner la loi de probabilité mais je n'ai pas grand chose pour répondre à cela...

Mise à part 10% ont la maladie donc 90% ne l'ont pas?

Je suis pas sur

Bonjour,

Je ne comprends pas ce "(n1)" que tu as écrit...

Piste pour démarrer :

Dans la population, la probabilité d'être atteint d'une maladie M est 0.1
La probabilité de ne pas être atteint de cette maladie M est 1-0.1=0.9

Si le test d'examen collectif est négatif, un seul test suffit .
$x n = 1$
Les n personnes ne sont pas atteintes par la maladie.
$p(x_n=1)=0.9^n$

Sinon, il faut faire, en plus du test collectif, n tests individuels , donc au total, il faut faire (1+n) tests
$x_n=1+n$
Nécessairement, au moins une des n personnes est atteinte par la maladie
$p(x_n=1+n)=1-0.9^n$

Xn prend donc 2 valeurs dont tu as les probabilités.

Avec cela, calcule l'espérance et tu trouveras la valeur proposée.

n≥1

Donc les deux valeurs sont 1 avec une proba de 0.9^n
Et 1+n avec une proba de 1-0.9^n

E(Xn) = 1 x 0.9^n + (1+n) x 1-0.9^n

= 0.9^n + n x 0.1^n

N'oublie pas les parenthèses

$e(xn)=1×0.9n+(1+n)×(1−0.9n)e(x_n) = 1 \times 0.9^n + (1+n) \times (1-0.9^n )$

Ta dernière expression est à revoir...

Recompte et transforme jusqu'à ce que tu trouves l'expression donnée dans l'énoncé.

n x -0.9^n ça donne quoi?

ça donne ce que tu as écrit...il n'y a pas de simplification possible.

Tu peux écrire $−n×0.9n-n\times 0.9^n$

donc

En(X) = 0.9^n +1 - 0.9^n +n -n0.9^n

C'est bon?

Oui, mais il y a une simplification car 0. $9^n$ -0. $9^n$ =0

bonjour
j'ai le même exercice a faire et je n'arrive pas a passer du resultat de cette question à 1-((0.9)^n - 1/n) :frowning2:
merci d'avance de me venir en aide

E(Xn) est la moyenne du nombre d'analyses de n personnes.

Pour obtenir le nombre moyen d'anlyses que l'on doit effectuer par personne , il suffit de diviser E(Xn) par n :

$e(xn)n=1+n−n.0.9nn\frac{e(x_n)}{n}=\frac{1+n-n.0.9^n}{n}$

On transforme pour obtenir exactement l'expression souhaitée.

merci beaucoup mtschoon

Et? Ça nous aide pas plus la simplification par n...

Si tu connais les fractions, c'est suffisant...

Principe :

$a+b−cn=an+bn−cn\frac{a+b-c}{n}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n}-\frac{c}{n}$

1/n ne se simplifie pas

n/n ça vaut n

Et -n0.9^n/n ça vaut 0.9^n

Non?

Veitchii, tu devraisimpérativementrevoir les bases de calcul de collège, car en TS, tu auras de gros problèmes...

Pour n ≠ 0 :

$nn=1\frac{n}{n}=1$

$−n0.9nn=−0.9n-\frac{n0.9^n}{n}=-0.9^n$

Oui d'ailleurs, vous auriez pas quelque chose qui résumerait les calcules de bases qui faudrait bien connaitre car je les ai un peu perdu... S'il vous plaît. Merci.

J'ai remarqué sur ce topic tes difficultés de calculs relatives aux fractions et aux puissances.

Je crois que le mieux serait de te procurer des manuels de maths de 4ème et 3ème et revoir tout ce qui correspond aux activités numériques.

Cela te donnera du travail, mais ça en vaut la peine.

Bon travail.

D'accord, je vous remercie.

Ensuite, la deuxième partie c'est la Rentabilité.

On préfèrera donc la méthode d'examen collectif à l'examen individuel dès lors que

$0.9^{n} - \frac{1}{n}$ sera positif.

Pour n ≥ 1, on pose $a_n$ =n(0. $9)^n$

Etablir que :

pour 1 ≤ n ≤ 9, $a_{n+1}$ > $a_n$

pour n ≥ 10, $a_{n+1}$ < $a_n$

$a_{33}$ >1 et $a_{34}$ <1

En déduire les valeurs de n pour lesquels U[sub]n[/sub]>0.

Sur cette partie, j'ai pas trop compris ce que l'on me demandé. Que signifie en faîte, établir

J'avais pensé à faire de la récurrence mais je sais pas trop... J'attends des pistes. Merci ! :rolling_eyes:

Etablir veut dire "démontrer"

Je te suggère de calculer $a$ {n+1} $a_n$ , de mettre 0. $9^n$ en facteur, et d'étudier le signe de $a$ {n+1} $a_n$

Fin moi j'avais tous simplement fait,

Pour n = 1, $a_1$ =0.9
Pour n = 9, $a_2$ =1.62
Donc $a_1$ <a[sub]2[/sub]
Pour 1 ≤ n ≤ 9, a[sub]n+1[/sub]> $a_n$

Pour la seconde, je ne sais pas... J'avais pensé à faire une récurrence, mais je ne suis pas sûr...

Et pour la troisième, j'ai mis

Pour n = 33, $a_{33}$ ≈1.02
$a_{33}$ > 1

Pour n = 34, $a_{34}$ ≈0.94
$a_{34}$ <1

Donc U[sub]n[/sub] > 0, pour n ∈ ]1;34[

OK pour $a_{33}$ et $a_{34}$

Pour le reste, tu n'a rien démontré.

Utilise la piste que je t'ai donnée dans mon message précédent qui te permettra de prouver les deux premières questions en même temps.

$a$ _{n+1} $a_n$

= (n+1)(0. $9)^{n+1}$ - n(0. $9)^n$

= n0. $9^{n+1}$ +0. $9^{n+1}$ - n0. $9^n$

Bon pour le moment?

Tu as développé.

RAPPEL : Je t'ai suggéré de FACTORISER : mets 0. $9^n$ en facteur.

Vu que 0. $9^n$ >0, le signe de $a$ {n+1} $a</em>{n }$ sera le signe du second facteur (simple), ce qui te permettra de répondre aux 2 premières questions.

= (n+1)(0. $9)^{n+1}$ - n(0. $9)^n$

= 0. $9^n$ (n+1 x 0.9 - n)

= 0. $9^n$ (1 x 0.9)

à la seconde ligne, mets les parenthèses autour de (n+1)

revois la 3eme ligne : elle est fausse

Ah oui, je refais :

= 0. $9^n$ ((n+1)0.9 - n)

= 0. $9^n$ (0.9n + 0.9 - n)

Mais là du coup, je peux pas continuer?

Simplifie le second facteur.

0.9n-n=...

0.9^n(-0.9)

Fin je ne vois pas en quoi ça réponds à mes deux questions....

C'est encore inexact...

Tu dois trouver

$a_{n+1}-a_n=0.9^n(0.9-0.1n)$

Comme je te l'ai déjà dit , 0. $9^n$ > 0

Le signe de $a$ _{n+1} $a_n$ est le signe de 0.9-0.1n

Tu cherches donc le signe de 0.9-0.1n suivant n

Je t'indique ce que tu dois trouver :

0.9-0.1n ≥ 0 <=> .... <=> n ≤ 9 : $a$ {n+1} $a_n$ ≥ 0 <=> $a</em>{n+1}$ ≥ $a_n$ **

0.9-0.1n < 0 <=> .... <=> n > 9 : $a$ {n+1} $a_n$ < 0 <=> $a</em>{n+1}$ < $a_n$ **

Si tu n'arrives pas à réaliser ces calculs, ne les mets pas dans ton devoir car ça ne te servirait à rien.
Et n'oublie pas de faire des mises au point pour progresser en calcul numérique.

Je comprends quasiment rien, car il n'y a rien qui réponds à ma question.

Ni pour 1 ≤ n ≤ 9

Et ni, pour n ≥ 10

Bizarre

Je t'ai mis en gras ce qui répond à ta question

( , Vu que n est un naturel non nul, n > 9 veut dire n ≥ 10 )

Bonne réflexion.