Suites - Démonstration par récurrence

[elikai]

Salut tout le monde !

J'ai besoin d'aide pour le dm suivant :

"Soit (Un )n∈N une suite définie par u0=1 et la relation de récurrence $U_{n+1}$= √(6+Un ) .

1. Démontrer que la suite (Un) existe, est croissante et majorée par 3.
2. Montrer que, pour tout n∈N, 3 - $U_{n+1}$ ≤ 1/4 (3- Un).
3. En déduire, pour tout n∈N, 0 ≤ 3 - Un ≤ $2/4^n$. Déterminer la limite de Un."

Il ne me reste plus que la question 3 sur laquelle je bloque complètement...

Merci d'avance pour votre précieuse aide !

[mtschoon]

Bonsoir,

Piste pour la 3)

Vu que pour tout n , Un ≤ 3, nécessairement : $3-u_n\ge 0$

Pour démontrer que $3-u_n\le \frac{2}{4^n}$, une récurrence va très bien (utilise la 2) pour prouver l'hérédité)

[elikai]

Merci pour votre réponse !

Initialisation :
Pour n = 0 0≤ 2 ≤ 2
P(0) vraie.

Heredité : Supposons que 3-Un ≤2/4^n et montrons que 3-Un+1 ≤ 2/4^(n+1)

D’après la question 2) 3-Un+1 ≤1/4(3-Un)

⟺4(3- Un+1) ≤3-Un

or 3-Un ≤ 2/4^n d' où 4(3- Un+1) ≤ 2/4^n ⟺ 3- Un+1 ≤ 2/4^(n+1)

[mtschoon]

ta dernière ligne écrite ne me semble pas claire.

$3-u_{n+1}\le \frac{1}{4}(3-u_n)\le \frac{1}{4}(\frac{2}{4^n})$

Donc :

$3-u_{n+1}\le \frac{1}{4}(\frac{2}{4^n})$

D'où

$3-u_{n+1} \le\ \frac{2}{4^{n+1}$

CQFD

[elikai]

D'accord, merci beaucoup encore !

Donc pour le calcul de la limite de Un :

D'après le théorème des gendarmes :

lim Un = lim (3 - 2/4^n) = 3

C'est correct ?

[elikai]

D'accord, merci beaucoup encore !

Donc pour le calcul de la limite de Un :

D'après le théorème des gendarmes :

lim Un = lim (3 - 2/4^n) = 3

C'est correct ?

[mtschoon]

C'est à peu près ça, mais explique mieux dans ton devoir.

$0\le 3-u_n\le \frac{2}{4^n}$

${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2}{4^n}=0$

D'après le théorème des deux gendarmes

${\lim }_{n\to +\infty }3-u_n=0$

Donc :

${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=3$

[elikai]

C'est noté ! Bonne soirée à vous, merci infiniment pour votre aide !

[mtschoon]

De rien !

Bonne soirée.