Equation du second dedré dans l'ensemble des complexes

Bonjour,
Je rencontre quelques difficultés avec cet exercice.
Quelqu'un peut-il m'aider ?

On veut résoudre l'équation $az^2+bz+c=0$ , mais, où les nombres a, b et c sont des complexes (dans le cours, ce sont des réels). Les factorisations faites en classe restent valables et les racines sont donc données par les formules : $z1=−b−δ2aetz2=−b+δ2az_1=\dfrac{-b-\sqrt{\delta}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\delta}}{2a}$

$δ{\delta}$ étant un nombre complexe.

On s'intéresse à l'équation $e) : z^2-(1+4i)z+5i-5=0$

Montrer que $δ=5−12i{\delta}=5-12i$

Jusque là, ça va..... rien de bien méchant !

$δ=b2−4ac=(1+4i)2−4(5i−5)=1+8i+16i2−20i+20{\delta} = b^2-4ac = (1+4i)^2-4(5i-5) = 1+8i+16i^2-20i+20$

On sait que $i^2=-1$

donc : $δ=1+8i−16−20i+20=1−16+20+8i−20i=5−12i{\delta} = 1+8i-16-20i+20 = 1-16+20+8i-20i = 5-12i$

Trouver un nombre $z$ tel que $z^2=5-12i$ (on prendra celui dont la partie réelle est positive)

Et, là, je tourne en rond.....

Bonjour,

Pour la 2), tu appliques exactement le principe vu dans ton exercice précédent (revois-le)

Chercher x et y réels tels que $x+iy)^2=5-12i$

Tu peux donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification.

Bonjour,
Le nombre cherché est de la forme x+iy
Développe (x+iy)², puis sépare les parties réelle et imaginaire : ça te donne deux équations pour trouver x et y.

Ah oui ! Zut !
J'avais déjà oublié : z=x+iy

Je m'y replonge ce soir

Merci

Donc, si j'ai bien compris, mtschoon, cette question 2) reprend le cheminement de la totalité de l'exercice qu'on a évoqué dans l'autre "discussion" ?

Donc, ça nous donnerait :

$z^2=5-12i$

$z = x + i y$ donc $z^2=(x+iy)^2= ..... = (x^2-y^2)+i(2xy) = 5-12i$

donc :
$\left\lbrace\begin{array}x^2-y^2=5 \ i(2xy)=-12i \end{array}$ ⇒ $\left\lbrace\begin{array}x^2-y^2=5 \ xy=-6 \end{array}$

$x y = - 6$ donc $y=−6xy=-\dfrac{6}{x}$

donc $x^2-y^2=5$ ⇒ $x2−(−6x)2=x2−36x2=5x^2-(-\dfrac{6}{x})^2=x^2-\dfrac{36}{x^2}=5$

$x2(x2−36x2)=5x2x^2(x^2-\dfrac{36}{x^2})=5x^2$ ⇒ $x^4-36=5x^2$ ⇒ $x^4-5x^2-36=0$

Je pose $x=x^2$ et j'obtiens l'équation du 2d degré : $x^2-5x-36=0$

Une première racine est évidente : $x_1=-4$

$x1∗x2=cax_1*x_2=\dfrac{c}{a}$ ⇒ $4x^2=-36$ ⇒ $x_2=9$

$x=x^2$

$x_1=-4$ ⇒ $x_1^2=-4$ impossible

$x_2=9$ ⇒ $x_2^2=9$ ⇒ $x_2=3$ ou $- 3$

On sait que : $x y = - 6$ donc $y=−6xy=-\dfrac{6}{x}$ et et $z = x + i y$

Donc, pour $x = - 3$ , on a $y = 2$ et $z = x + i y = - 3 + 2 i$

et, pour $x = 3$ , on a $y = - 2$ et $z = x + i y = 3 - 2 i$

Comme dans l'énoncé, on me demande de garder le nombre $z$ dont la partie réelle est positive, alors
z=3-2i

C'est bon ?

C'est bon pour les racines carrées complexes de Δ.

Une remarque que je t'ai déjà faite au sujet de √
$a\sqrt a$ n'a de sens que lorsque A est un réel positif.

Lorsque Δ est complexe, l'écriture $δ\sqrt \delta$ est à bannir...

Il faudra reformuler les expressions de $z_1$ et $z_2$ ...

Heu..... je ne comprends pas trop vos remarques. Lorsque j'écris :
Citation
$z1=−b−δ2aetz2=−b+δ2az_1=\dfrac{-b-\sqrt{\delta}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\delta}}{2a}$
$δ{\delta}$ étant un nombre complexe.
je ne fais que recopier l'énoncé.

L'écriture de $z_1$ et $z_2$ que tu donnes est correcte seulement pour Δ réel positif ( Tu peux voir ou revoir la définition de la fonction "racine carrée").

Pour Δ complexe, tu devrais adapter cette écriture (pose la question à ton professeur)

Tu as déjà remarqué que $−1\sqrt {-1}$ n'est pas une écriture acceptable .
C'est exactement pareil pour $δ\sqrt \delta$

Δ a deux racines carrées complexes opposées δ1 et δ2 (δ2=-δ1)

δ étant une de ces valeurs (n'importe laquelle des deux), les solutions de l'équation az²+bz+c=0, avec a≠0, s'écrivent :

$z2=−b−δ2az_1=\frac{-b+\delta}{2a}\ et \ z_2=\frac{-b-\delta}{2a}$

Regarde ici :

http://homeomath.imingo.net/complex17.htm

Autre chose : l'énoncé te dit de prendra pour z "celui dont la partie réelle est positive").

De quoi s'agit-il exactement ?

Relis bien ton énoncé; ne s'agit-il pas de choisir entre z1 et z2 (solutions de l'équation az²+bz+c=0) , mais tu ne les as pas encore calculées.
(Tu as calculé seulement les racines carrées complexes de Δ)

En fait, je me suis mal exprimée.
J'ai bien compris le sens de votre remarque : "racine carrée" ne peut être associée qu'à un réel positif. On peut donc l'associer à Δ si c'est un réel positif. Or dans mon énoncé, juste en dessous de l'écriture de $z_1$ et $z_2$ , on me dit que Δ est un complexe. Donc on ne peut pas écrire $δ\sqrt{\delta}$

Ce que je ne comprenais pas, c'est que c'était dans l'énoncé.
Je vais donc en parler à mon professeur mais je doute qu'il pense que cette remarque vienne de moi.

Sinon, le résultat z=3-2i, c'est correct ?

Dans la question 3), on me demande d'en déduire les solutions de l'équation (E)
Dois-je remplacer $z$ par $3 - 2 i$ dans $(e)$ ?

Si ton professeur ne pense pas que cette remarque ne vient pas de toi, aucune importance : cela lui permettra de donner l'explication qui parait nécessaire.

Les racines carrées complexes de Δ sont bien 3-2i et -3+2i

Pour résoudre l'équation, c'est à dire trouver $z_1$ et $z_2$ , utilise les formules usuelles que je viens de te donner; que tu prennes 3-2i ou -3+2i pour δ, cela revient au même.

(c'est pour cela que je me demande si "prendre pour z celui dont la partie réelle est positive") s'applique aux racines carrées de Δ (ce qui ne sert à rien) ou aux solutions de l'équation du second degré... ?)

Pour que tu puisses vérifier, je te donnes les solutions que tu dois trouver: 2+i et -1+3i

Ah ok, oui !

Δ=5-12i
3-2i est une racine complexe de Δ

donc $z1=−b−(3−2i)2az_1=\dfrac{-b-(3-2i)}{2a}$ et $z2=−b+(3−2i)2az_2=\dfrac{-b+(3-2i)}{2a}$

et je dois arriver aux résultats que vous m'avez donnés.

Et pour finir, dans la question 4), je dois verifier que ces solutions conviennent.
Alors, dans (E), je remplace z par ces résultats et je vérifie que ça "colle"

J'ai pigé

Merci beaucoup pour le temps que vous avez bien voulu me consacrer !

PS : Et, effectivement, "prendre pour z celui dont la partie réelle est positive" ne sert pas à grand-chose, à part, peut-être, nous éviter des calculs (donc des risques d'erreur) qui ne servent à rien....

Merci en tout cas pour votre aide

C'est bien ça pour la 4)

Je pense que maintenant tout est clair pour toi (y compris les indications "douteuses"...de ton énoncé).

Bons calculs!

Ok ok

Après un ou deux essais infructueux dûs (vous devez vous en douter) à des erreurs de signes , j'arrive enfin à $(e) = 0$ quand je remplace $z$ par $z_1=-1+3i$ puis par $z_2=2+i$

Merci encore

De rien !

Tu as bien travaillé .