Sommet d'une parabole

Bonjour,
Je dois faire un exercice pour un devoir maison, mais j'ai beaucoup de mal !! Voilà le sujet:

Soit a un réel non nul.
On considère la parabole d'équation y=ax²+x+1.
On note Sa le sommet de la parabole.
Quel est l'ensemble des points Sa lorsque a décrit R?

Voilà, j'ai essayé de répondre au problème mais je ne suis pas arrivé à quelque chose de concret. En fait, je crois que je n'ai pas bien compris l’énoncé. J'ai cherché sur internet mais je n'ai rien trouver.
Si vous pouviez m'aider à résoudre ce problème
Merci d'avance pour vos réponses !!

Bonjour,
Tu dois avoir en cours l'abscisse du sommet de la parabole.

Je sais que pour trouver les coordonnées d'un sommet il faut écrire l'équation sous forme canonique, si c'es ce que vous voulez dire
Le problème, c'est que je ne m'en sors pas dans les calculs !! Je ne comprend pas vraiment la démarche à suivre :S

a ≠ 0 sinon, ce ne serait pas une parabole.
Mets a en facteur

C'est bon !! je pense que j'ai compris !! je vais essayer !!

Montre tes calculs si u veux qu'on les corrige.

En fait, j'ai un problème.
Ce que j'ai trouvé:
y=ax²+x+1
y=a(x²+(x/a)+(1/a))
Ensuite, je crois qu'il faut prendre le coefficient de (x/a), le diviser par deux et le mettre au carré, non?

Oui : de façon précise : c'est x² + x/(a) qui doit être le début d'un carré .
(x + 1/(2a))²= ...

Ok !!
Alors, j'ai:
ax²+x+1
a(x²+(x/a)+(1/a))
a(x²+(X/a)+(1/4a²)+(1/a)-(1/4a²)
a(x+1/(2a))²+1/a-(1/4a²)
Et là je ne comprend pas trop :S
La forme canonique c'est: a(x+1/2a)²??
Ou je me suis trompé dans le calcul?

Attend non j'ai vu ou est le problème !! je refait le calcul !!

J'ai trouvé comme forme canonique:
a(x+(1/2a))²+((4a-1)/(4a²))
C'est juste?

Citation
a(x+1/(2a))²+1/a-(1/4a²)Il manque seulement des parenthèses.
y = a[(x+1/2a)² +(4a-1)/(4a²)]
Tu peux donc obtenir l'abscisse du sommet, puis son ordonnée.

Ok, je me suis trompé en écrivant mais j'ai juste sur mon papier !
Donc, les coordonnées du sommet sont ((1/(2a));((4a-1)/(4a²))) pour a différent de 0. Ce que je ne comprend pas c'est que ça ne répond pas encore à la question, et je ne comprend toujourss pas comment y répondre :s

Non : l'abscisse du sommet est ce qui annule le carré, donc c'est u = - 1/(2a).
Quant à l'ordonnée, c'est l'image de u : il ne faut donc pas oublier de remultiplier (4a-1)/(4a²) par a.

J'avoue que je ne comprend pas bien le dernier message. Pour l'abscisse c'est bon mais j'ai pas compris pourquoi il faut multiplier par a. :s j'ai regardé mon cours et je n'ai pas d'endroit ou on me dit de multiplier par a

y = a[(x+1/(2a))² + (4a-1)/4a²]
y= a(x+1/2a)² + a(4a-1)/4a²
On veut savoir ce que vaut y lorsque x vaut -1/2a : il faut donc y = ... et pas y = a[...]
Si tu préfères, tu pars de y = ax² + x + 1 et tu y remplaces x par -1/2a.

Mais je ne comprend pas pourquoi on doit calculer y alors qu'on peut l'avoir avec la forme canonique??
Et encore une question, une fois que j'ai les coordonnées de Sa, j'ai ma réponse à la question posée?

Le sommet de la parabole a deux coordonnées : u = -1/2a et v = f(-1/2a) en posant f(x) = y.
Tu dois donc calculer v, de la façon qui te plaira.
Ensuite, ce ne sera pas terminé : il faut trouver un lien entre u et v (les coordonnées du sommet).
Commence par proposer l'ordonnée du sommet.

Mais ce que je ne comprend pas c'est que normalement on a pas besoin de calculer l'ordonnée car il est donné par la forme canonique... je me trompe?

Si je fais le calcul j'obtiens -1/0, mais c'est pas possible !! Tu peux me donner le début du calcul, stp, je retourne le problème dans tous les sens mais je ne trouve

Tu remplaces x par -1/2a :
y =a(-1/2a)² + (-1/2a) + 1
y = 1/4a -1/2a + 1
y = -1/4a + 1
Les coordonnées du sommet sont donc (-1/2a ; -1/4a + 1)

Si on pose u = -1/2a et v = -1/4a + 1, tu vois que v = (1/2).u + 1
Le sommet décrit donc une droite d'équation Y = (1/2).X + 1.
Presque ... car a≠0, donc u ≠ 0 (-1/2a ne peut pas être nul).
Il faut donc retirer de cette droite le point (0 ; 1).
Je dois maintenant me déconnecter. On verra demain si personne ne t'aide d'ici là.

Je ne comprend pas la fin :s
Comment peut on passer des coordonnées à l'équation?
Et ou se trouve a dans l'équation?

Si j'ai bien compris: u=x et v=y. Avec les coordonnées, on peut écrire une équation de droite: y=(1/2)x+1
ou bien y=(1/2)*(-1/(2a))+1
Donc, si un point appartient à la droite, il peut être un des sommets de la droite. C'est bien ça?

Citation
Les coordonnées du sommet sont donc (-1/2a ; -1/4a + 1)
J'avais changé de lettres (u et v) pour t'éviter des confusions, mais ce sont des lettres "muettes" : on peut tout aussi bien les appeler X et Y, x et y, k et l, ...
Si u = -1/2a et v= -1/4a + 1 , vois-tu que v =(1/2).u + 1 ?

Oui, ça je l'ai compris C'est le reste ou j'ai du mal :s

Au lieu de u et v, j'utilise x et y :
v = (1/2).u + 1 s'écrit y = (1/2).x+ 1
C'est l'équation d'une droite.
Donc le point S, quels que soient les noms qu'on donne à ses coordonnées, est situé sur cette droite.
Comprends-tu toujours ?

Je comprend l'équation mais je ne comprend pas ou apparait a? Il devrait être dans l'équation de la droite, non?

Je comprend l'équation mais je ne comprend pas ou apparait a? Il devrait être dans l'équation de la droite, non?

Je comprend l'équation mais je ne comprend pas ou apparait a? Il devrait être dans l'équation de la droite, non?

Les coordonnées de S dépendent de a. Lorsque a varie, les coordonnées de S varient aussi, mais S reste sur la droite, nommons-la D, d'équation y = (1/2)x + 1.
Dans cette équation, x et y dépendent de a.
Le but du problème était précisément "d'éliminer" a entre les coordonnées de S.
Tu as une infinité de paraboles d'équation y = ax² + x + 1.
Trace celle avec a = 1 et regarde où est son sommet.
Trace celle avec a = -1 et regarde où est son sommet.
Tu peux en tracer d'autres avec d'autres valeurs de a : tu verras que leurs sommets sont tous situés sur la droite D.

Ok !! J'ai compris !! Donc, l'ensemble des points Sa lorsque a décrit R est tous les points appartenant à la droite, sauf 0 car a≠0. C'est juste?

Ok !! J'ai compris !! Donc, l'ensemble des points Sa lorsque a décrit R est tous les points appartenant à la droite, sauf 0 car a≠0. C'est juste?

Presque.
Il faut bien exclure un point, mais pas le point O(0;0).
D'ailleurs, le point O n'est pas situé sur D !
C'est l'abscisse de S qui ne peut pas être nulle :
elle vaut -1/2a qui ne peut jamais valoir 0
C'est donc le point de D d'abscisse 0 qu'il faut retirer : quelle est son ordonnée ?
y = (1/2).0 + 1 = 1
Le point qu'il faut retirer est donc le point (0;1).

C'est pour une tout autre raison que a doit être différent de 0 : c'est parce que l'équation y = ax² + x + 1 deviendrait y = x+1 qui n'est pas l'équation d'une parabole, mais d'une droite qui n'a rien à faire dans ce problème.