Sommet d'une parabole



  • Bonjour,
    Je dois faire un exercice pour un devoir maison, mais j'ai beaucoup de mal !! Voilà le sujet:

    Soit a un réel non nul.
    On considère la parabole d'équation y=ax²+x+1.
    On note Sa le sommet de la parabole.
    Quel est l'ensemble des points Sa lorsque a décrit R?

    Voilà, j'ai essayé de répondre au problème mais je ne suis pas arrivé à quelque chose de concret. En fait, je crois que je n'ai pas bien compris l’énoncé. J'ai cherché sur internet mais je n'ai rien trouver.
    Si vous pouviez m'aider à résoudre ce problème 🙂
    Merci d'avance pour vos réponses !!



  • Bonjour,
    Tu dois avoir en cours l'abscisse du sommet de la parabole.



  • Je sais que pour trouver les coordonnées d'un sommet il faut écrire l'équation sous forme canonique, si c'es ce que vous voulez dire 🙂
    Le problème, c'est que je ne m'en sors pas dans les calculs !! Je ne comprend pas vraiment la démarche à suivre :S



  • a ≠ 0 sinon, ce ne serait pas une parabole.
    Mets a en facteur



  • C'est bon !! je pense que j'ai compris !! je vais essayer !!



  • Montre tes calculs si u veux qu'on les corrige.



  • En fait, j'ai un problème.
    Ce que j'ai trouvé:
    y=ax²+x+1
    y=a(x²+(x/a)+(1/a))
    Ensuite, je crois qu'il faut prendre le coefficient de (x/a), le diviser par deux et le mettre au carré, non?



  • Oui : de façon précise : c'est x² + x/(a) qui doit être le début d'un carré .
    (x + 1/(2a))²= ...



  • Ok !!
    Alors, j'ai:
    ax²+x+1
    a(x²+(x/a)+(1/a))
    a(x²+(X/a)+(1/4a²)+(1/a)-(1/4a²)
    a(x+1/(2a))²+1/a-(1/4a²)
    Et là je ne comprend pas trop :S
    La forme canonique c'est: a(x+1/2a)²??
    Ou je me suis trompé dans le calcul?



  • Attend non j'ai vu ou est le problème !! je refait le calcul !!



  • J'ai trouvé comme forme canonique:
    a(x+(1/2a))²+((4a-1)/(4a²))
    C'est juste?



  • Citation
    a(x+1/(2a))²+1/a-(1/4a²)Il manque seulement des parenthèses.
    y = a[(x+1/2a)² +(4a-1)/(4a²)]
    Tu peux donc obtenir l'abscisse du sommet, puis son ordonnée.



  • Ok, je me suis trompé en écrivant mais j'ai juste sur mon papier !
    Donc, les coordonnées du sommet sont ((1/(2a));((4a-1)/(4a²))) pour a différent de 0. Ce que je ne comprend pas c'est que ça ne répond pas encore à la question, et je ne comprend toujourss pas comment y répondre :s



  • Non : l'abscisse du sommet est ce qui annule le carré, donc c'est u = - 1/(2a).
    Quant à l'ordonnée, c'est l'image de u : il ne faut donc pas oublier de remultiplier (4a-1)/(4a²) par a.



  • J'avoue que je ne comprend pas bien le dernier message. Pour l'abscisse c'est bon mais j'ai pas compris pourquoi il faut multiplier par a. :s j'ai regardé mon cours et je n'ai pas d'endroit ou on me dit de multiplier par a



  • y = a[(x+1/(2a))² + (4a-1)/4a²]
    y= a(x+1/2a)² + a(4a-1)/4a²
    On veut savoir ce que vaut y lorsque x vaut -1/2a : il faut donc y = ... et pas y = a[...]
    Si tu préfères, tu pars de y = ax² + x + 1 et tu y remplaces x par -1/2a.



  • Mais je ne comprend pas pourquoi on doit calculer y alors qu'on peut l'avoir avec la forme canonique??
    Et encore une question, une fois que j'ai les coordonnées de Sa, j'ai ma réponse à la question posée?



  • Le sommet de la parabole a deux coordonnées : u = -1/2a et v = f(-1/2a) en posant f(x) = y.
    Tu dois donc calculer v, de la façon qui te plaira.
    Ensuite, ce ne sera pas terminé : il faut trouver un lien entre u et v (les coordonnées du sommet).
    Commence par proposer l'ordonnée du sommet.



  • Mais ce que je ne comprend pas c'est que normalement on a pas besoin de calculer l'ordonnée car il est donné par la forme canonique... je me trompe?



  • Si je fais le calcul j'obtiens -1/0, mais c'est pas possible !! Tu peux me donner le début du calcul, stp, je retourne le problème dans tous les sens mais je ne trouve



  • Tu remplaces x par -1/2a :
    y =a(-1/2a)² + (-1/2a) + 1
    y = 1/4a -1/2a + 1
    y = -1/4a + 1
    Les coordonnées du sommet sont donc (-1/2a ; -1/4a + 1)

    Si on pose u = -1/2a et v = -1/4a + 1, tu vois que v = (1/2).u + 1
    Le sommet décrit donc une droite d'équation Y = (1/2).X + 1.
    Presque ... car a≠0, donc u ≠ 0 (-1/2a ne peut pas être nul).
    Il faut donc retirer de cette droite le point (0 ; 1).
    Je dois maintenant me déconnecter. On verra demain si personne ne t'aide d'ici là.



  • Je ne comprend pas la fin :s
    Comment peut on passer des coordonnées à l'équation?
    Et ou se trouve a dans l'équation?



  • Si j'ai bien compris: u=x et v=y. Avec les coordonnées, on peut écrire une équation de droite: y=(1/2)x+1
    ou bien y=(1/2)*(-1/(2a))+1
    Donc, si un point appartient à la droite, il peut être un des sommets de la droite. C'est bien ça?



  • Citation
    Les coordonnées du sommet sont donc (-1/2a ; -1/4a + 1)
    J'avais changé de lettres (u et v) pour t'éviter des confusions, mais ce sont des lettres "muettes" : on peut tout aussi bien les appeler X et Y, x et y, k et l, ...
    Si u = -1/2a et v= -1/4a + 1 , vois-tu que v =(1/2).u + 1 ?



  • Oui, ça je l'ai compris 🙂 C'est le reste ou j'ai du mal :s



  • Au lieu de u et v, j'utilise x et y :
    v = (1/2).u + 1 s'écrit y = (1/2).x+ 1
    C'est l'équation d'une droite.
    Donc le point S, quels que soient les noms qu'on donne à ses coordonnées, est situé sur cette droite.
    Comprends-tu toujours ?



  • Je comprend l'équation mais je ne comprend pas ou apparait a? Il devrait être dans l'équation de la droite, non?



  • Je comprend l'équation mais je ne comprend pas ou apparait a? Il devrait être dans l'équation de la droite, non?



  • Je comprend l'équation mais je ne comprend pas ou apparait a? Il devrait être dans l'équation de la droite, non?



  • Les coordonnées de S dépendent de a. Lorsque a varie, les coordonnées de S varient aussi, mais S reste sur la droite, nommons-la D, d'équation y = (1/2)x + 1.
    Dans cette équation, x et y dépendent de a.
    Le but du problème était précisément "d'éliminer" a entre les coordonnées de S.
    Tu as une infinité de paraboles d'équation y = ax² + x + 1.
    Trace celle avec a = 1 et regarde où est son sommet.
    Trace celle avec a = -1 et regarde où est son sommet.
    Tu peux en tracer d'autres avec d'autres valeurs de a : tu verras que leurs sommets sont tous situés sur la droite D.


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