Suite U(n+1)=racine(3Un + 4)
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LLaflaques dernière édition par
Bonjour j ai besoin d aide ,
C est un devoir maison pour la rentree je bloque sur une question depuis 2h
Voici l exercice on sait que U0=0 et que Un+1=racine de 3Un+4
J ai demontrer que Un etait majoree
Que Un etait croissante
Que Un converge et j ai determiner sa limite c' est 4
2) a- Montrer que pour tout entier naturel n: 4-Un+1<ou= 1/2 (4-Un)
b- retrouver que Un converge et determiner sa limite
La gros bloquage
Merci d avance
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
C'est donc la 2) qui te pose problème.
Piste,
4−un+1=4−3un+44-u_{n+1}=4-\sqrt{3u_n+4}4−un+1=4−3un+4
Je te conseille d'utiliser le conjugué
4−un+1=(4−3un+4)(4+3un+4)4+3un+44-u_{n+1}=\frac{(4-\sqrt{3u_n+4})(4+\sqrt{3u_n+4})}{4+\sqrt{3u_n+4}}4−un+1=4+3un+4(4−3un+4)(4+3un+4)
Après transformation du numérateur, tu dois trouver :
4−un+1=12−3un4+3un+44-u_{n+1}=\frac{12-3u_n}{4+\sqrt{3u_n+4}}4−un+1=4+3un+412−3un
4−un+1=3(4−un)4+3un+44-u_{n+1}=\frac{3(4-u_n)}{4+\sqrt{3u_n+4}}4−un+1=4+3un+43(4−un)
Vu que Un ≥ 0, 3Un3U_n3Un+4 ≥ 4
Tu dois trouver que :
4+3un+4≥64+\sqrt{3u_n+4} \ge 64+3un+4≥6
donc :
4−un+1≤3(4−un)64-u_{n+1}\le\frac{3(4-u_n)}{6}4−un+1≤63(4−un)
En simplifiant, tu obtiens l'inégalité cherchée.