A la recherche d'une fonction... (asymptotes)

Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider à cet exercice s'il vous plait ?
f est une fonction rationnelle définie pour x différent de 0 et de 2. Sa courbe représentative admet 3 asymptotes dont les deux axes de coordonnées.
Enfin f(1)=f(-1/2)=-1
Utilisez ces renseignements pour découvrir une telle fonction f.
Merci Beaucoup.

Bonjour,
Quel pourrait être le dénominateur le plus simple de f ?

Je dirais 1 ?

Pas du tout.
f(x) : N(x)/D(x) où N et D sont des polynômes.
f n'est pas définie en 0 ni en 2 : cal signifie que D(x) s'annule pour x = 0 et pour x = 2.

donc ce serait 0 et 2 ?

Non.
Tu as déjà rencontré des fonctions rationnelles. As-tu déjà vu des dénominateurs valant 0 et/ou 2 ?
Des trucs comme (5x-4)/0 ou (3x²+8x+9)/2 ?
Mais peut-être des écritures comme (5x-8)/(x+4) ?

Je n'ai jamais eu de fonctions avec des dénominateurs tels que 0 ou 2 mais des écritures comme (5x-8)/(x+4) oui

Alors, pour que la fonction soit définie sauf en 0 et en 2, quel pourrait être son dénominateur ?

x et x+2 avec x=0 ?
Je ne comprend vraiment pas ce que je peux dire d'autre parce que je ne comprend rien, pour le coup, je suis perdu

f(x) peut être de la forme N(x)/x(x-2) (et pas x+2).
Ainsi, f est définie pour tout x sauf pour les valeurs annulant le dénominateur, c'est-à-dire sauf 0 et 2.
C'est bien ce qui est demandé non ?
Maintenant, cela te fournit déjà deux asymptotes : lesquelles ?

Pour x=0 et y=0

Non.
La fonction n'est pas définie pour x = 0, donc le second axe est une asymptote.
La fonction n'est pas définie pour x = 2 , donc la droite ... ?

Dans un tableau de variation (il n'est pas demandé ici), tu places en général des doubles barres sous 0 et 2.

la droite est discontinue en 2
comment pourrait-on faire un tableau de variation (même si il n'est pas demandé ici) si on n'a pas le numérateur ?

Citation
la droite est discontinue en 2Ça ne veut rien dire : c'est la fonction qui est discontinue (pire : non définie) en 2.

Citation
comment pourrait-on faire un tableau de variation (même si il n'est pas demandé ici) si on n'a pas le numérateur ?On ne fera pas de tableau, et le numérateur il va falloir le trouver.
Je parlais du tableau uniquement pour faire allusion aux doubles barres qui indiquent des asymptotes : quelle sorte d'asymptotes ? (horizontales, verticales, obliques...)

d'accord, je me suis mal exprimé
Les asymptotes pour x=0 et x=2 seront verticales

Cela fait deux asymptotes.
La troisième, comme demandé, est le premier axe.
Si on espère f(x) = N(x)/x(x-2), quel doit être le degré de N pour que ce premier axe soit une asymptote ?

Si je suppose que le premier axe est celui des ordonnés, je dirais que le numérateur doit être au premier degré soit x donc la fonction serait f(x) = x/x(x-2) ?

Citation
le premier axe est celui des ordonnésNon : c'est l'axe des abscisses, celui qu'on représente habituellement horizontalement.
D’ailleurs, on a vu que les deux autres asymptotes sont "verticales" : l'une est exactement l'axe des ordonnées, l'autre lui est parallèle.

Le numérateur doit effectivement être du premier degré pour que x tende vers ∞ lorsque x tend vers 0, ou vers 2.
Mais ce n'est pas x, pour deux raisons :

tu pourrais simplifier par x, et tu obtiendrais f(x) = 1/(x-2) : l'axe des ordonnées ne serait plus une asymptote.
N'oublie pas les autres conditions : f(1) = -1 et f(-1/2) = -1.

Pose N(x) = ax + b, et grâce aux conditions ci-dessus, tu vas pouvoir calculer a et b.

On pose N(x)=ax+b
On prend x=1
N(1)=a*1 +b
N(1)= a + b
-1= a+b

On prend x= 1/2
N(1/2)=1/2*a +b
-1= 1/2a +b

a+b=-1
1/2a+b=-1

a=-1-b
1/2(-1-b)+b=-1

a=-1-b
-1/2 -1/2b + b =-1

a=-1-b
-1/2 - 3/2b =-1

a=-1-b
-3/2b= -1 / (1/2)

a=-1-b
-3/2b= -2

a=-1-b
b=2 /(-3/2)

a=-1-b
b=-4/3

a=-1-(-4/3)
b=-4/3

a=1/3
b=-4/3

Donc f(x)= (1/3x +1)/x(x+2) ?

Non, j'ai mal recopié l'énoncé : c'est f(-1/2) = -1
Désolé, mais la méthode est correcte. Malgré tout, tes calculs étaient faux.
Reprends avec f(1) = -1 et f(-1/2) = -1, comme indiqué dans l'énoncé de ton premier message.

Effectivement, j'avais du faire une faute avant vu que je trouve tout de meme
a=1/3
b=1

Oui, mais tu ne tiens pas compte du dénominateur.
f(1) = (a+b)/1.(1-2) = -1
d'où a+b = 1
f(-1/2) = [(-1/2)a + b]/(-1/2)(-1/2-2) = -1
[(-1/2)a + b]/(5/4) = -1
(-1/2)a + b = - 5/4

Ton système est donc :
a+b = 1
(-1/2)a + b = - 5/4
ce qui, sauf erreur, donne a = 3/2 et b = -1/2
si ces calculs sont justes, on aura donc
f(x) = [(3/2)x - 1/2] / x.(x-2)

Ah oui d'accord mais comment fait tu pour trouver a+b=1 ? et non -1 ?
et que -1 * -5/4 fait -5/4 et non 5/4 ?

Je n'ai pas détaillé tous les calculs.
Citation
(a+b)/1.(1-2) = -1(a+b) / 1.(1-2) = (a+b) / 1.(-1) = (a+b) / (-1), et cela vaut -1 : donc a+b = 1

Citation
(-1/2)(-1/2-2)= (-1/2).(-1/2 - 4/2) = (-1/2).(-5/2) = 5/4.
Et puisque le résultat [(-1/2)a + b]/(5/4) vaut -1, cela donne (-1/2)a + b = -5/4

Okay, donc derniere question vu que l'exercice est fini,
Pour conclure pour voir si j'ai bien tout compris et qu'il ne manque rien :
la fonction a pour asymptotes :
x=0
x=2
qui sont verticales et parallèles
et y=0 qui est horizontale et le premier axe
et la fonction : f(x)= ((3/2)x - 1/2) / x*(x-2) ?

C'est bien cela.
Tu peux vérifier :

quand x→ 0, f(x) → ∞ ( asymptote verticale)
quand x → 2, f(x) → ∞ (asymptote verticale)
quand x → ∞, f(x) → 0 (asymptote horizontale)
f(1) = -1 (calculs à vérifier)
f(-1/2) = -1 (calculs à vérifier)

D'accord et bien merci beaucoup, je vais alors vérifier les calculs

De rien.