Déterminer le chiffre des unités en arithmétique

[Pierrooo]

Bonsoir, je sollicite votre aide pour m'aider à répondre à cette question d'un devoir maison :

Quel est le chiffre des unités de n^5-n avec n entier naturel

Merci de votre aide à l'avance

[mtschoon]

Bonjour,

Quelques pistes possibles,

Tu commences par faire un test pour constater que, dans le test, le chiffre des unités est 0.

Il faut que tu prouves que $n^5$-n est divisible par 10

$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$

n(n+1) est produit de 2 entiers consécutifs donc un des deux est pair donc le produit est pair.
Tu peux déduire que $n^5$-n est divisible par 2

Il te reste à prouver que $n^5$-n est divisible par 5

Pour cela, il y a plusieurs méthodes.

Par exemple :

Tu peux traiter les 5 cas possibles :
$n\equiv 0(5)n\equiv 1(5)n\equiv 2(5)n\equiv 3(5)n\equiv 4(5)$

Je t'en fait un, tu fais les autres.

$n\equiv 2(5)donc{n}^5\equiv 32(5)$

Vu que 32=(6x5)+2

$n^5\equiv 2(5)$
donc
$n^5-n\equiv 2-2(5)$
donc
$n^5-n\equiv 0(5)$

D'où la réponse.

Tu continues.