Spécialité: Triplets pythagoriciens

Bonsoir,
J'ai un DM de spé math sur les triplet pythagoriciens (TP, TPP quand primitif)
Je galère un peu, je viens de tout taper le sujet, 4parties, 14questions, le forum a merdé car j'ai été "trop lent" et j'ai été déconnecté.. Un peu la flemme de tout recommencer.. Je met donc juste le point où je bloque, j'espère que vous serez compréhensifs, si besoin je peux fournir ce que j'ai comme résultats dans les parties d'avant.

Note qui me semble importante : dans une question préalable, on a posé x=2k

construction d'un TPP
a) Soit d=PGCD(y,h) Montrer que d divise y² et x². En déduire que d=1
Soit h=dh' et y=dy' x=dx'
x²=d²(h'²-y'²)
y²=d²(h'²-x'²)
Donc d divise y² et x².
Je bloque sur déduire d=1
b)On pose u=(h+y)/2 et v=(h-y)/2. Montrer que u et v sont des entiers et qu'ils sont premiers entre eux.
Soit h=2k'+1 et y=2k+1
(h+y)/2=k'+k+1 c'est bien un entier
(h-y)/2=k'-k, aussi un entier
Je bloque sur montrer qu'ils sont premiers entre eux
c) En déduire, en remarquant que k²=uv, que u et v sont deux carrés parfaits, c'est ) dire qu'il existe deux entier positif a et b tels que u=a² et v=b² (on pensera à utiliser la décomposition en facteurs premiers)
Je ne vois pas comment faire, ni comment décomposer en facteur premier étant donner que u et v sont premiers.
d) Montrer alors que h=a²+b², y=a²-b², puis x=2ab
Là je vois comment obtenir x=2ab puisque k²=uv=a²b² donc k=ab, Or x=2k=2ab. Pour le reste, ça me semble moins évident.
Application : existe-t-il un TPP avec y=2003 ?
a) Montrer que 2003 est premier (on donnera la méthode, sans écrire tous les calculs)
On vérifie que 2003 est divisible par lui et par 1 seulement en essayant tous les entier jusqu’à sqrt(2003)
b)Trouver a et b tels que a²-b²=2003
Là je ne vois pas comment faire
c) déterminer alors x et h,
Si j'arrive à la question précédente, ça me parait évident.

Merci d'avance de votre aide.
Robert

J'ai passé plusieurs heures dessus aujourd'hui, j'ai réussi à avancer un peu.
Je bloque toujours en 3)a) pour montrer que d=1

3)b) J'ai réussi:
h+y=2u
h-y=2v

Par substitution, on a
y=u-v
h=u+v
Donc u et v sont des entiers naturel non nul car h+y appartient à N et h>y, donc h-y appartient aussi à N.
u et v sont premiers entre eux car leurs PGCD=1.
Sinon, il existerait un diviseur p commun à u et v tel que
y=p(u'-v')
h=p(u'+v')
x²=h²-y²=p²(u'+v')²-p²(u'-v')²=p(p[(u'+v'²)-(u'-v')²])
Or x, y et h sont premiers entre eux, ça n'aurait donc aucun sens.
3)c)J'ai montrer que k²=uv:
x²=4k²
x²=4uv
k²=uv
Mais, je n'ai pas réussi à décomposer en facteur premiers.
3)d)
On a k²=a²b²
k=ab
x=2k
D'où x=2ab
y=u-v, donc y=a²-b²
h=u+v, donc h=a²+b²
Mais pour affirmer ça, il faut avoir réussi la question d'avant.

4)b)a²-b²=2003 si et seulement si (a-b)(a+b)=2003
On résous a-b=1 et a+b=2003
On trouve a=1002 et b=1001
4)c)
x=2ab=210021001=2006004
h=a²+b²=1001²+1002²=2006005