Prouver en distinguant les cas possibles qu'un nombre est divisible par 3

Bonsoir,

Prouver en distinguant tous les cas possible:

Pour tout n entier naturel positif, on a n³-n est divisible par 3.

On distingue 3 possibilités:
n=3p, n=3p+1, n=3p+2

Bonsoir am9511,

Etudie les trois cas.

Je ne sais pas comment faire

Tu remplaces n par 3pet tu montres que l'expression est un multiple de 3
n³ -n = (3p)³ - 3p =
27p³ - 3p = 3p(9p - 1)
= 3x k
donc
.....

L'expression n=3p est un multiple de 3

Oui.

Fais la démonstration avec 3p+1

n=3p+1

n^3-n= (3p)^3 + (-1)
= (3p)^3 - 1
= 27p ^3 -1= 3p(9-1)
= 3xk

n=3p+2

= (3p)^3 - 2
= 27p^3-2 = 3p(9-2)
= 3xk

Non
si n = (3p+1)
n³ - n = (3p+1)³ - (3p+1)
développe et simplifie le terme de droite

n³ - n = (3p+1)³ - (3p+1)

= 3p³ +3x3p^2x1+ 3x3p x 1^2 + 1³
= 3p³ + 9p^2+ 9p+1 - 3p-1
= 3p³ + 9p^2+6p

n³ - n = (3p+1)³ - (3p+1)

= (3p)³ +3x(3p)^2x1+ 3x3p x 1^2 + 1³ - 3p - 1
= 27p³ + 27p^2+ 9p+1 - 3p-1
= 27p³ + 27p^2+6p puis tu mets 3p en facteur
= 3p(......)

3p(9p+2)

et 27p³ ?

3p(9p+2)³

Je pense a pas que ça soit ça

27p³ + 27p^2+6p puis tu mets 3p en facteur
= 3p(9p² + 9p + 2)
= 3 x k
donc
.....

Ah d'accord donc L'expression n=3p+1 est un multiple de 3

Il reste à vérifier pour n = 3p+2,

n = 3p+2,

(3p)³+3x(3p)²x2+3x3px2²+2³-3p-2

= 27p³+54p²+33p-6

= 3p(9p²+18p+11-2)

= 3xk

Une erreur 8 - 2 = 6

n = 3p+2,

(3p)³+3x(3p)²x2+3x3px2²+2³-3p-2

= 27p³+54p²+33p+6 Mets 3 en facteur

= 3( .......)=
3k

3p(9p²+18p+11+2)=3k

Non,

27p³+54p²+33p+6 Mets 3 en facteur

= 3( 9p³ + 18p² + 11p + 2)=
3k

Ah oui parce que si on faisait 3px2=6p alors qu'on voulait juste 6.

Merci beaucoup pour ton aide !