déduction de fonction

bonsoir, je travail sur un dm et je suis bloquée à la question 2)
.

**"on désigne par f une fonction définie et dérivable sur R et f' sa fonction dérivée. CE fonctions vérifent les propriétés suivantes :
(1) pour tout nombre reel x, [f'(x)]² - [f(x)]² = 1
(2) f'(0)=1
(3) la fonction f' est dérivable sur R.

1)a) démontrer que, pour tout reel x : f'(x) ≠ 0
b) calculer f(0)

en dérivant chaque membre de l'égalité (1) démontrer que pour tout réèl x : f''(x) = f(x)
on pose u et v les fonctions définies sur R par : u=f'+f et v=f'-f
a) calculez u(0)
b) démontrez du u'=u
c) déduisez en la fonction u
d) démontrez que pour tout reel x : u(x)v(x)=1. Déduisez-en l'expression de v(x) en fonction de x
e) déduisez-en l'expression de f(x) en fonction de x."*

pour f(0) j'ai trouvé =0

merci de votre aide

Bonsoir,

Pour démarrer,

1)a) En transposant dans (1)

[f '(x)]²=1+[f(x)]² donc [f '(x)]²≥1 donc [f '(x)]²>0 donc f '(x)≠0

1)b)Oui pour f(0)=0

2)En dérivant (1) avec les formules usuelles :

2f '(x)f ''(x)-2f(x)f '(x)=0

2f '(x)[f ''(x)-f(x)]=0

Tu sais que f '(x) ≠ 0 donc [f ''(x)-f(x)]=0 donc ...

Essaie de poursuivre. Reposte si besoin.

merci, maintenant je suis bloquée a la 3)c)
jai trouvé u(0)= 1 et j'ai reussis a demontrer que u'=u de la maniere suivante :
on a u=f'+f donc u' = f''+f'
or d'apres 2) f''=f donc u' = f+f'
ainsi u'=f+f'=u

comment en déduire u?

Ce que tu as fait me semble bon.

Pour le 3)c), tu n'as rien à faire sauf revoir ton cours récent de TS sur les nouvelles fonctions.

Je ne donnerai le nom de cette fonction s'il le faut, mais je ne voudrais pas te gâcher le plaisir de le trouver...

u est la fonction égale à sa dérivée qui prend la valeur 1 pour x=0

Tu la connais : c'est la fonction .............

c'est la fonction exponentielle oui, mais c'est juste cela quil faut que je mette pour cette question ?

ensuite pour la 3)d) j'ai :
u(x) * v(x) = (f' + f) *(f' - f) = [f'(x)]² * [f(x)]² et d'apres la propriété (1) cela est egal a 1. donc u(x) * v(x) =1

et pour en déduite v(x) en fonction de x, je met qu'on sait que u(x) est exponentielle et $e^x$ * $e^{-x}$ = 1 donc v(x) = $e^{-x}$ ??? cela est-il correct ou non?

Pour la 3)c), tu n'as rien à dire d'autre.

Pour la 3)d) : mets des "x" partout et je pense que tu as fait une faute de frappe :

Tu dois écrire :

*u(x) * v(x) = (f '(x) + f(x)) (f '(x) - f(x)) = [f'(x)]²- [f(x)]² = 1

Ta réponse est bonne.

Tu peux passer à la 3)e)

oui effectivement il y avait une erreur de frappe.
et pour le 3)e) j'ai u(x) = $e^x$ et v = $e^{-x}$
a partir de ça et des question précedent comment en déduire l'expression de f(x) en fonction de x ???

Tu sais que :

u(x)=f '(x)+f(x)
v(x)=f '(x)-f(x)

En retranchant membre à membre, tu obtiendras 2f(x) en fonction de u(x) et v(x) (que tu connais)

j'ai pas compris .... comment obtenir 2f(x) ?

En retranchant membre à membre les deux égalités écrites.

ah oui c'est bon, donc j'ai
u(x)-v(x) = f'(x)+f(x)-f'(x)+f(x) = 2f(x)

mais ensuite comment trouver l'expression de f(x)??

Tu viens de trouver que

2f(x)=u(x)-v(x)

Tu divises donc par 2 pour avoir f(x) et bien sûr, tu remplaces u(x) et v(x) par les expressions trouvées précédemment.

ah oui exact, merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'aider !

De rien et j'espère que tu as trouvé:

$f(x)=ex+e−x2f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

( Peut-être que, plus tard, tu apprendras que cette fonction s'appelle "cosinus hyperbolique" . Sa représentation graphique, que tu peux tracer sur ta calculette, s'appelle "chaînette", vu sa forme)