Preuves par récurence

Bonsoir merci de bien vouloir m'aider :

Prouver par récurrence que ∀x n ∈ et q ≠1 on a que

n
Σ q^i= 1-q^n+1 /1-q
i=0

Prouver par réccurence que ∀x N ∈ 3 | n^3 -n

Bonsoir am9511,

Indique tes éléments de réponse
As tu vérifié la relation pour n = 0 ?

Pour la 1) je n'arrive pas à commencer l'initialisation

pour la 2)

Initialisation:
si n=1
on a 1^3-1=0

p1 est vraie

Hérédité:
Supposons que Pn est vraie au rang n, Montrons que P(n+1) est vraie aussi:

Je bloque ici

Pour le 1
l'initialisation
si n = 0, $q^0$ = ...
et $1-q^1$ )/(1-q) = ....

Pour le 2, Quelle est la relation ? 3 divise $n^3$ - n ?
si oui développe (n+1)³ - (n+1)

n = 0, q0 = 1-q^0+1 /1-q
(1-q1)(1-q) = 1-q-q^1+q^1
je développe (n+1)³ - (n+1)

n^3+3xn^2x1+3xnx1^2+1^3-n-1

= n^3+3n^2+3n+1-n-1
= n^3+3n^2+2n
= n(n^2+3n+2)

n = 0, q0 = 1
(1-q1)/(1-q) = (1-q)/(1-q) = 1
je développe (n+1)³ - (n+1)

n^3+3xn^2x1+3xnx1^2+1^3-n-1

= n^3 +3n^2+3n+1-n-1
= n^3 - n +3n^2+3n
= n³ - n + 3n(n+1)
Donc divisible par 3

d'accord donc je met ça dans la partie hérédité, Pour la conclusion j'ai mis:

On a prouvé que p(0) est vraie et que si P(n) vraie alors P(n+1) vraie aussi.
Donc P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égale à 0.

Es-ce une bonne conclusion ?

Pour l'hérédité, il faut démontrer l'égalité à l'ordre n+1

$1-q^{n+1}$ )/(1-q) + $q^{n+1}$ = ......

je dois mettre dans l'initialisation le développement de (n+1)³ - (n+1) ? En faite la on se mélange car le 1) et 2) sont différent

Non,

L'initialisation consiste à vérifier la propriété pour le premier rang.
donc juste la vérification pour n = 0.

ok d'accord je résume :

donc pour le 1)

Initialistion si n = 0, q0 = 1
(1-q1)/(1-q) = (1-q)/(1-q) = 1

Hérédité

(1-qn+1)/(1-q) + qn+1 = ......

pour le 2)

Initialisation

Hérédité

(n+1)³ - (n+1)

n^3+3xn^2x1+3xnx1^2+1^3-n-1

= n^3 +3n^2+3n+1-n-1
= n^3 - n +3n^2+3n
= n³ - n + 3n(n+1)
Donc divisible par 3

Oui,

Complète l'hérédité pour le 1 et l'initialisait pour le 2.

je n'arrive pas à faire l'hérédité
si n=3

3 divise n^3 - n

donc pour le 1)

Initialistion si n = 0, $q^0$ = 1
(1-q1)/(1-q) = (1-q)/(1-q) = 1

Hérédité

$1-q^{n+1}$ )/(1-q) + $q^{n+1 }$ = tu réduis au même dénominateur

$1-q^{n+1}$ + $q$ ^{n+1} $q^{n+2}$ )/(1-q) =
.....

pour le 2)

Initialisation
si n = 0,
$0^3$ - 0 = 0 qui est divisible par 3

Hérédité

(n+1)³ - (n+1)

n^3+3xn^2x1+3xnx1^2+1^3-n-1

= n^3 +3n^2+3n+1-n-1
= n^3 - n +3n^2+3n
= n³ - n + 3n(n+1)
Donc divisible par 3

donc pour le 1)

Initialistion si n = 0, q0 = 1
(1-q1)/(1-q) = (1-q)/(1-q) = 1

Hérédité

(1-qn+1)/(1-q) + qn+1 = tu réduis au même dénominateur

(1-qn+1+ qn+1-qn+2)/(1-q) =
(1-qn+2)/(1-q)
J'arrive pas du tout

pour le 2)

Initialisation
si n = 0,
03 - 0 = 0 qui est divisible par 3

Hérédité

(n+1)³ - (n+1)

n^3+3xn^2x1+3xnx1^2+1^3-n-1

= n^3 +3n^2+3n+1-n-1
= n^3 - n +3n^2+3n
= n³ - n + 3n(n+1)
Donc divisible par 3

Conclusion

On a prouvé que p(0) est vraie et que si P(n) vraie alors P(n+1) vraie aussi.
Donc P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égale à 0.

L'égalité peut s'écrire directement, les $q^{n+1}$ s'éliminent
$1-q^{n+1}$ + $q$ ^{n+1} $q^{n+2}$ )/(1-q) =
$1-q^{n+2}$ )/(1-q)

Donc c'est bien ce que j'ai trouvé, je fais la conclusion