Prouver une inégalité de valeurs absolues par cas

Bonsoir merci de bien vouloir m'aider

Prouver par cas l’inégalité triangulaire c’est à dire ∀ x,y ∈ R

|x+y| ≤ |x| + |y|

Bonsoir am9511,

Quelles conditions peut-on envisager pour x et y ?

Bonjour,

En attendant que Noemi soit là, tu peux commencer à consulter cet article pour te donner des idées possibles.

Enfaite je ne sais pas comment commencer, les conditions sont :

Les différents cas sont indiqués dans le lien proposé par mtschoon.

Je dois donc démontrer les 3 cas ?

Oui, tu fais l'étude pour les différents cas.

cas1
si x ≥0 et y ≥ 0
|x+y| = x+y
et |x| + |y| = x + y
donc
|x+y| ≤ |x| + |y|

Cas 2
si x ≤ 0 et y ≤ 0
.....

je te laisse poursuivre

cas 2
si x ≤ 0 et y ≤ 0
|x + y| = -(x + y) = (-x) + (-y)
donc
-x = |x|
-y = |y|

Donc |x + y| = |x| + |y|

cas 2
si x ≤ 0 et y ≤ 0
|x + y| = -(x + y) = (-x) + (-y)
et
|x| = -x
|y| = -y

Donc |x + y| = |x| + |y|

cas 3
si x ≤ 0 et y ≥ 0
...

cas 4
si x ≥ 0 et y ≤ 0

cas 3
si x ≤ 0 et y ≥ 0

je n'y arrive pas

cas 4
si x ≥ 0 et y ≤ 0
x + y = |x| – |y| < |x| + |y|
|x + y| = |y| – |x|

cas 4
si x ≥ 0 et y ≤ 0
|x| = x
|y| = -y
soit |x| + |y| = x - y

|x + y| = x + y si x ≥ -y et
= -(x+y) si x ≤ -y
donc
.....

même raisonnement pour cas 3

Cas 4
Donc |x + y| = |x| + |y|

Cas 3
si x ≤ 0 et y ≥ 0

|x| = -x
|y| = y

Soit |x| + |y| = -x + y

|x + y| = x + y si -x ≥ y
et -(x+y) si -x ≤ y

Donc |x + y| = |x| + |y|

Des erreurs
Cas 4
Donc |x + y| ≤|x| + |y|

Cas 3
si x ≤ 0 et y ≥ 0

|x| = -x
|y| = y

Soit |x| + |y| = -x + y

|x + y| = -(x + y) si -x ≥ y
et (x+y) si -x ≤ y

Donc |x + y| ≤ |x| + |y|

Ok merci de ton aide je vais essayer de comprendre ça