suites - récurrence

[moh18]

Slt,

Je n'arrive pas à faire mon DM pouvez-vous m'aider svp?

Voici l'énoncé
n considère la suite (Un) définie par Uo=5 et pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
Un= (1 + 2/n)*(U(n-1)) + 6/n

1)a) Calculer U1
b) Les valeurs de U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8,U9,U10,U11 sont respectivement 45,77,117,165,221,285,357,437,525,621.
A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite (Dn) où n ∀n∈ℜ définie par Dn= U(n 1)-Un
2) On considère la suite arithmétique (Vn) où n ∀n∈ℜde raison 8 et de premier terme Vo=16
Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n²+12n.
3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a Un=4n²+12n+5
4) Valider la conjecture émise par la question 1)b).

Pour la 1a) U1 = 21

b) on conjecture que (Dn) est une suite arithmétique de premier terme D0 = 16 et de raison 8

2. Sn = V0 + V1 + ... + V(n-1) = n * (V0 + V(n-1))/2 = n* (16 +(16 + 8(n-1))/2) = n(12+4n) = 4n² + 12n

Egalité prouvé

3. Initialisation : pour n=0 , U0 = 40² + 120 + 5 = 5 donc Vrai au rang 0

Hérédité : ( je me suis arrété à là car je n'est rien compris)

Cependant, on m'a donné une aide qui dit : 4x³ + 24x² + 41x +21 = (x+1)(4x² + ax + 21) avec a un réel que l'on déterminera

Pouvez-vous m'aider svp?

[mtschoon]

Bonjour,

Piste pour l'hérédité de la récurrence de la 3)

Hypothèse de la récurrence à un ordre n( n ≥ 0) :$u_n=4n^2+12n+5$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) :$u_n=4(n+1{)}^2+12(n+1)+5$

c'est à dire $u_{n+1}=4n^2+20n+21$

Piste pour la démonstration:

$u_{n+1}=(1+\frac{2}{n+1})u_n+\frac{6}{n+1}$

$u_{n+1}=(1+\frac{2}{n+1})(4n^2+12n+5)+\frac{6}{n+1}$

Après calculs :

$u_{n+1}=\frac{4n^3+24n^2+41n+21}{n+1}$

En factorisant le dénominateur (méthode par identification)

$u_{n+1}=\frac{(n+1)(4n^2+20n+21)}{n+1}$

$u_{n+1}=4n^2+20n+21$

CQFD