suites - récurrence



  • Slt,

    Je n'arrive pas à faire mon DM pouvez-vous m'aider svp?

    Voici l'énoncé
    n considère la suite (Un) définie par Uo=5 et pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
    Un= (1 + 2/n)*(U(n-1)) + 6/n

    1)a) Calculer U1
    b) Les valeurs de U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8,U9,U10,U11 sont respectivement 45,77,117,165,221,285,357,437,525,621.
    A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite (Dn) où n ∀n∈ℜ définie par Dn= U(n 1)-Un

    1. On considère la suite arithmétique (Vn) où n ∀n∈ℜde raison 8 et de premier terme Vo=16
      Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n²+12n.
    2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a Un=4n²+12n+5
    3. Valider la conjecture émise par la question 1)b).

    Pour la 1a) U1 = 21

    b) on conjecture que (Dn) est une suite arithmétique de premier terme D0 = 16 et de raison 8

    1. Sn = V0 + V1 + ... + V(n-1) = n * (V0 + V(n-1))/2 = n* (16 +(16 + 8(n-1))/2) = n(12+4n) = 4n² + 12n

    Egalité prouvé

    1. Initialisation : pour n=0 , U0 = 40² + 120 + 5 = 5 donc Vrai au rang 0

    Hérédité : ( je me suis arrété à là car je n'est rien compris)

    Cependant, on m'a donné une aide qui dit : 4x³ + 24x² + 41x +21 = (x+1)(4x² + ax + 21) avec a un réel que l'on déterminera

    Pouvez-vous m'aider svp?



  • Bonjour,

    Piste pour l'hérédité de la récurrence de la 3)

    Hypothèse de la récurrence à un ordre n( n ≥ 0) :un=4n2+12n+5u_n=4n^2+12n+5

    Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) :un=4(n+1)2+12(n+1)+5u_n=4(n+1)^2+12(n+1)+5

    c'est à dire un+1=4n2+20n+21u_{n+1}=4n^2+20n+21

    Piste pour la démonstration:

    un+1=(1+2n+1)un+6n+1u_{n+1}=(1+\frac{2}{n+1})u_n+\frac{6}{n+1}

    un+1=(1+2n+1)(4n2+12n+5)+6n+1u_{n+1}=(1+\frac{2}{n+1})(4n^2+12n+5)+\frac{6}{n+1}

    Après calculs :

    un+1=4n3+24n2+41n+21n+1u_{n+1}=\frac{4n^3+24n^2+41n+21}{n+1}

    En factorisant le dénominateur (méthode par identification)

    un+1=(n+1)(4n2+20n+21)n+1u_{n+1}=\frac{(n+1)(4n^2+20n+21)}{n+1}

    un+1=4n2+20n+21u_{n+1}=4n^2+20n+21

    CQFD


 

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