Trouver les limites d'une fonction à l'infini
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Ttrk0 dernière édition par Hind
trouver la limite de f(x) lorsque x tend vers -∞ et +∞
f(x)=x33−x2+1f(x)=\frac{x^3}{3}-\sqrt{x^2+1}f(x)=3x3−x2+1
- (ici, on ne doit pas effacer un énoncé écrit)*
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Lorsque x tend vers -∞, il n'y a pas d'indétermination.
limx→−∞x33=−∞\lim _{x\to -\infty}\frac{x^3}{3}=-\inftylimx→−∞3x3=−∞
limx→−∞−x2+1=−∞\lim _{x\to -\infty}-\sqrt{x^2+1}=-\inftylimx→−∞−x2+1=−∞
Donc la somme tend vers -∞
limx→−∞(x33−x2+1)=limx→−∞(x33+(−x2+1))=−∞\lim _{x\to -\infty}(\frac{x^3}{3}-\sqrt{x^2+1})=\lim _{x\to -\infty}(\frac{x^3}{3}+(-\sqrt{x^2+1}))=-\inftylimx→−∞(3x3−x2+1)=limx→−∞(3x3+(−x2+1))=−∞
$\fbox{\lim _{x\to -\infty}f(x)=-\infty}$
Lorsque x tend vers +∞, il y a indétermination. Il faut transformer f(x).
Tu peux essayer de mettre x en facteur.f(x)=x33−x2+1=x33−x2(1+1x2)f(x)=\frac{x^3}{3}-\sqrt{x^2+1}=\frac{x^3}{3}-\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}f(x)=3x3−x2+1=3x3−x2(1+x21)
$f(x)=\frac{x^3}{3}-\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}$
Pour x positif ( vu qu'il tend vers +∞),x2=x\sqrt{x^2}=xx2=x
$f(x)=\frac{x^3}{3}-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}$
Au final :
$f(x)=x(\frac{x^2}{3}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2})$
Chaque facteur de ce produit tend vers +∞, donc le produit tend vers +∞
$\fbox{\lim _{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$