Calculs d'angles et distances dans un triangle à l'aide des fonctions trigonométriques

[Delphinne31aka]

Bonjour ,

je bloque sur un exercice de trigonométrie …. merci de m'aider

ABC est un triangle dont les trois angles: BAC , ABC et BCA sont aigus.
On a tracé sa hauteur [AH] issue de A ( on note AH=h )
AB=c
BC=a
CA=b

1. exprimer sinB et sinC à l'aide des longueurs apparaissant sur la figure
2. exprimer l'aire du triangle ABC à l'aide des longueurs apparaissant sur la figure
3. En déduire 2 expréssions de l'aire du triangle ABC , faisant intervenir sinB et sinC
4. Démontrer que b/sinB = c/sinC

Mes réponses :

1. -Dans le triangle ABH , rectangle en H :
   sinB=AH/AB
   sinB=h/c
   -Dans le triangle ACH , rectangle en H :
   sinC=AH/AC
   sinC=h/HC
2. Aire de ABH=ha/2
   Aire de ACH=hHC/2
   Donc l'aire de ABC=h+a/2+h*HC/2 = 2hHC+a/4
3. je n'ai pas trouvé
4. je n'ai pas trouvé

Merci de m'aider et de me dire si j'ai déjà des fautes dans ce que j'ai fais , et de m'aider à répondre
au deux dernières questions ….

Merci ^^

[Noemi]

Bonsoir Delphinne31aKa

1. sinC=AH/AC
   sinC=h/a
2. Aire de ABC=h*a/2

Isole h des relations trouvées à la question1 que tu remplaces dans l'expression de l'aire.

[Delphinne31aka]

Donc la réponse de la 2) est h*a/2 ?

[Delphinne31aka]

3. En déduire 2 expréssions de l'aire du triangle ABC , faisant intervenir sinB et sinC
4. Démontrer que b/sinB = c/sinC

[Noemi]

Tu as trouvé sinB = h/c cela donne h = c sinB
de même avec sin C = h/b cela donne h = b sinC

Comme l'aire de ABC = h*a/2
3) avec h = c sin B; l'aire = c sinB * a / 2
avec h =b sin C ; l'aire = b sin C *a/2

4. Ecris l'égalité pour l'aire et simplifie l'expression

[Delphinne31aka]

Pour la réponse 3
je trouve : sinBBCBA/2 et sinCBCAC/2

Pour la 4

je ne sais toujours pas.....

[Delphinne31aka]

pour la 4) j'ai trouvé :
La hauteur du triangle est de csinB ou bsinC , pour former un 3eme triangle rectangle on peut voir que asinB=bsinA donc a/sinA=b/sinB=c/sinC

[Noemi]

Pour la question 3, j'ai écris la réponse :
Comme l'aire de ABC = h*a/2
3) avec h = c sin B; l'aire = c sinB * a / 2
avec h =b sin C ; l'aire = b sin C *a/2

4. l'égalité pour l'aire donne
   c sinB*a/2 = b sinC * a/2

simplifie cette égalité
....