Spé math: PGCD


  • M

    Bonjour, j'ai un petit peu de mal à finir un exercice, et j'ai besoin de votre aide précieuse pour me mettre sur le chemin.. 🙂

    Enoncé: n est un entier relatif. On pose a=n²-3n+6 et b=n-1

    1. Vérifiez que pour tout n, n²-3n+6= (n-1)(n-2)+4
    2. Démontrer que PGCD(a;b) = PGCD(n-1;4)
    3. L'objectif de cette question est de trouver, suivant les valeurs de n, le PGCD de a et b.
      a. Quels sont les PGCD possibles ?
      b. Tout entier n s'écrit sous l'une ou l'autre des formes suivantes:
      n=4k; n=4k+1; n=4k+2 ou n=4k+3, k∈Z.
      Pour chacune de ces quatres formes, précisez le PGCD de a et b.

    Alors question 1 et 2, pas de probleme j'ai réussi..
    Par contre c'est à l'exercice que je sais pas trop comment faire..

    Merci d'avance..


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Quelques pistes,

    Les diviseurs de 4 étant 1 , 2 , 4 les PGCD possibles sont 1 , 2 , 4.

    Vu que PGCD(a;b) = PGCD(n-1;4), tu cherches lePGCD(n-1,4), suivant n

    Pour n=4k et pour n=4k+2, n-1 est impair.
    4 est pair
    Le PGCD cherché est donc ...

    Pour n=4k+1, n-1=4k
    Le PGCD cherché est donc ...

    Pour n=4k+3, n-1=4k+2=2(2k+1)
    n-1 est donc le produit de 2 par un nombre impair.
    Le PGCD cherché est donc ...


  • M

    Bonjour,

    Pour n=4k et pour n=4k+2, n-1 est impair.
    4 est pair
    Le PGCD cherché est donc 1

    Pour n=4k+1, n-1=4k
    Le PGCD cherché est donc 4

    Pour n=4k+3, n-1=4k+2=2(2k+1)
    n-1 est donc le produit de 2 par un nombre impair.
    Le PGCD cherché est donc 2

    Je pense que c'est ca, mais je ne démontre pas vraiment pourquoi je trouve cela..


  • mtschoon

    C'est ça, mais détaille ( un nombre impair n'est divisible ni par 2, ni par 4, donc...)


  • M

    Ok je faire ça 😉
    Merci beaucoup de votre aide !


  • mtschoon

    De rien !


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