Conjecturer l'expression d'une suite et la démontrer

Bonjour, j'ai un exercice sur les suites que voici :

Soit (wn)n≥0 définie pour n ≥ 1, par nwn = (n+ 1)wn−1+ 1 et w0 = 1
Calculer les termes w1 à w9.
Suggérer une formule explicite pour le calcul des termes de la suite (wn)n≥0 et calculer, avec l’expression devinée le terme w2015.

Mon problème est que je comprends pas la "logique" de cette suite. Merci.

Bonjour,

Piste pour démarrer,

Si j'ai bien lu

$w_0=1$

$nw_n=(n+1)w_{n-1}+1$

Pour n ≥ 1

$wn=n+1nwn−1+1nw_n=\frac{n+1}{n}w_{n-1}+\frac{1}{n}$

Tu remplaces n par 1 :

$w1=1+11w1−1+11=2w0+1=2(1)+1=3w_1=\frac{1+1}{1}w_{1-1}+\frac{1}{1}=2w_0+1=2(1)+1=3$

Tu remplaces n par 2 :

$w2=2+12w2−1+12=32w1+1/2=....=5w_2=\frac{2+1}{2}w_{2-1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}w_1+1/2=....=5$

Tu continues.

Hmm pourquoi mettre des fractions sur n ?

L'énoncé te donne l'expression de $nW_n$

Pour avoir l'expression de $W_n$ , il faut donc diviser par n

Pour w2,
3/2w1 + 1/2 = 3/2 (2) + 1/2 = 7/2...?

non car $W_1$ =3

Ah oui, donc w2=5, w3=7,w4=9,w5=11,w6=13,w7=15,w8=17 et w9=19 ?

C'est ça, mais d'après l'énoncé que tu as donné, tous ces termes doivent être calculés les uns après les autres.

Oui, il faut donner la formule pour les calculs des termes que faire..?

Il faut réfléchir.

Si tu as vu le cours sur les suites arithmétiques, c'est immédiat, sinon, tu raisonnes.

$w_0=1 \ w_1=1+2 \ w_2=1+2(2) \ w_3=1+3(2) \ w_4=1+4(2) \ w_5=1+5(2) \ ... \ \ \ ...$

Tu conjectures donc que

$w_n=....$

Wn=1+2xWn-1 ?

pas tout à fait...observe de plus près.

Wn-2x2+1 ?

non, tu as même perdu n

$\text{w_n=1 + ...\times 2$

Wn = 1 + n x 2 ?

OUI .

Merci!

De rien et n'oublie pas de déduire $W_{2015}$ .