Fonction indicatrice de l'ensemble des rationnels

[Invité]

Bonjour à toutes et à tous ! Bonne Année si ce n'est pas trop tard..
Voila : J'ai un exercice (facultatif) à faire, et il m'a l'air bien costaud !
J'ai juste à réussi à faire le 1)a) de l'énoncé que voici :

1)a) Montrer que si m est fixé et si x $\notin$ Q
lim $_{n ->+ inf/}$ $(co{s}^n$ (m!x$pi$)) = 0
Ca j'ai réussi (mais au bout de combien de temps !!)

b) Soit x fixé dans Q. On peut poser x = p/q.
Montrer que suivant les valeurs de m, la limite étudiée au a) peut valoir 1 ou 0 ou ne pas être définie.
Montrer que les deux derniers cas ce sont possibles que pour un nombre fini de valeurs m.

c) Soit x un réel fixé.
On vient de voir que si m est assez grand, la suite $(u_m$) définie par
$u_m$ = $lim_{n -> +inf/}$ $co{s}^n$ (m!x$pi$)
est bien définie.
On peut donc envisager le calcul de $lim_{m -> +inf/}$ $u_m$.
Montrer que cette limite vaut 1 si x est dans Q et 0 sinon.

Cette fonction
f(x) = $lim_{m -> +inf/}$ [ $lim_{n -> +inf/}$ $co{s}^n$ (m!x$pi$) ]
est appelée fonction indicatrice de l'ensemble des rationnels car elle indique si un réel est dans Q (alors f(x) = 1) ou n'y est pas (alors f(x)=0).

Voila pour la 1ere partie. Si vous pouviez ne m'aider juste que pour une question, ce serait formidable, j'aimerais vraiment voir comment il faut faire pour y arriver ! Ces exercices sont facultatifs, ils ne sont faits que pour nous préparer à des études plus pointues par la suite (prépas...)

La deuxième partie si ca vous intéresse...

2)a) Soient a et b deux réels distincts.
Montrer que l'intervalle ]a;b[ contient au moins un nombre rationnel et un autre qui ne l'est pas. Pour ce faire, il est pratique de considérer les suite (n/N) et (n $sqrt$2)/N') où N et N' sont des entiers fixés assez grand.

b) Montrer que la fonction définié au 1) n'a pas de sens de variation constant sur aucun intervalle [a;b]

c) Montrer que cette fonction n'est continue en aucun point réel a.

Merci beaucoup !