Etudier le sens de variation et les extremums à l'aide de la fonction dérivée


  • 2

    Bonjour, j'ai du mal à résoudre un exercice sur les fonctions dérivées :

    g la fonction définie par g(x) = x+(a/x) avec a réel non nul. g est dérivable sur ]-oo;0[ et sur ]0;+oo[.

    1)Etudier les variations de g sur R{0} en supposant a>0
    2)Etudier les variations de g sur R{0} en supposant a<0
    3)Montrez que la somme d'un réel strictement positif et de son inverse est supérieur ou égale à 2.
    4) Quel est le volume maximal d'un parallélépipède rectangle dont le patron est le reste d'une plaque métallique carré de coté 1 mètre après avoir enlevé un carré de coté x sur chacun de ses quatre coins? (0<x<0.5)

    Ce que j'ai fais :

    1)J'ai tenté de trouver la fonction dérivée : g'(x) = 1+(-1/x²)
    J'ai procédé en séparant en deux la fonction g(x) = x+(a/x) :
    D'un coté x, je sais que sa dérivée est 1
    Et de l'autre (a/x), je sais que la dérivée d'une fonction du type (1/v) est égal à -(v/v²).
    Ce qui m'a conduit à trouver pour dérivée de g(x) : g'(x) = 1+(-1/x²)
    Je ne suis pas sûre de mon résultat mais là où je bloque c'est pour étudier les variations de g..

    Merci


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Une erreur à cause du a

    g(x)=x+a(1x)g(x)=x+a(\frac{1}{x})g(x)=x+a(x1)

    Donc

    g′(x)=1+a(−1x2)=1−ax2g'(x)=1+a(-\frac{1}{x^2})=1-\frac{a}{x^2}g(x)=1+a(x21)=1x2a

    Il est utile de transformer :

    g′(x)=x2−ax2g'(x)=\frac{x^2-a}{x^2}g(x)=x2x2a

    Sur l'ensemble de définition, x² > 0 donc g'(x) est du signe de x²-a
    Dans les cas précisés, tu trouves ainsi le signe de g'(x) donc les variations de g


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