Établir le tableau de signe d'une fonction puis résoudre l'inéquation

Bonjour,

J'ai un petit souci avec un exercice :

Résoudre avec un tableau de signe : (2x+3)/(x-1)≥4
Là je vois 2 méthodes, mais le résultat n'est pas le même et j'aimerais comprendre pourquoi...

Méthode 1 :
(2x+3)/(x-1) ≥ 4
(2x+3)/(x-1) -4 ≥ 0
(2x+3)/(x-1) -4(x-1)/(x-1) ≥ 0
(2x+3)/(x-1) (-4x+4)/(x-1) ≥ 0
(2x+3-4x+4)/(x-1) ≥ 0
(-2x+7)/(x-1) ≥ 0
Je fais le tableau de signe et j'obtiens
S=]1 ; 7/2]

Méthode 2 :
(2x+3)/(x-1) ≥ 4
2x+3 ≥ 4(x-1)
2x+3 ≥ 4x-4
2x+3-4x+4 ≥ 0
-2x+7 ≥ 0
-2x ≥ -7
x ≤ 7/2
S=]-00; 7/2]
(00 = infini)

Où est l'erreur ???

Merci d'avance de votre aide.

Bonjour,

La première méthode est bonne (et ta réponse aussi)

La seconde méthode est mauvaise car tu as multiplié les deux membres de l'inéquation par (x-1) sans changer le sens de l'inéquation : cela ne peut s'appliquer que pour (x-1) positif, ce qui n'est pas toujours le cas sur R ...

*Remarque : pour utiliser la seconde méthode, il faudrait étudier séparément deux cas : x > 1 et x < 1 .
De toute façon, ce n'est pas ce qui est demandé vu qu'il faut faire un tableau de signes. *

Merci pour la réponse.
Néanmoins, je n'ais pas bien saisi quelque chose :
Citation
tu as multiplié les deux membres de l'inéquation par (x-1) sans changer le sens de l'inéquation
x étant positif, pourquoi changer le sens ?

Deux remarques :

1)x n'est pas forcement positif vu que x est un réel quelconque

Pour multiplier les deux membres de l'inéquation par (x-1), ce n'est pas le signe de x qui intervient, mais le signe de (x-1).

Je te détaille un peu le principe ( mais ce n'est pas ce que tu as à faire dans ton exercice, vu que tu dois faire un tableau de signe )

Principe de la Méthode 2

1er cas :

x>1 <=> x-1> 0 C'est le cas où x ∈ ]1,+∞[

Dans ce cas, on ne change pas le sens de l'inégalité et les calculs aboutissent à :

x ≤ 7/2

Soit S1 l'ensemble des solutions sur ]1,+∞[: S1=]1 , 7/2]

2ème cas :

x<1<=> x-1< 0 C'est le cas où x ∈ ]-∞,1[

Dans ce cas, on change le sens de l'inégalité et les calculs aboutissent à x ≥ 7/2

Cela est impossible (car il n'y a pas de réels supérieurs ou égaux à 7/2 dans l'intervalle ]-∞,1[

Soit S2 l'ensemble des solutions sur ]-∞,1[ : S2=∅

Conclusion

SoitS l'ensemble des solutions dans R

S = S1 ∪ S2 = ]1 , 7/2] ∪ ∅ = ]1 , 7/2]

Evidemment, on trouve la même réponse qu'avec la méthode 1.