Pythagore, trigonométrie, Thalès...

Bonjour à nouveau,

Je continue sur ma lancée en postant le deuxième exercice de mon DM. Celui-ci est
plus basé sur de la géométrie.

ABC est un triangle rectangle en B.
H est le pied de la hauteur issue de B.

On donne : AB = 8 cm
BH = 4 cm
$bca^\hat{bca}$ = 60 °

$fichier math$

1/ Calculer, en centimètres, la mesure du segment [AH], arrondie au mm.
2/ Calculer, en centimètres, la mesure du segment [HC], approchée à 0,1, par défaut.
3) Soit J le point du segment [AC] tel que $ajac=14\frac{aj}{ac}=\frac{1}{4}$
La parallèle à la droite (BC) passant par J coupe le segment [AB] en K. Expliquer pourquoi AK= 2 cm.

La question 1/ j'ai utilisé Pythagore dans le triangle BAH, en démontrant par la
définition d'une hauteur, l'angle droit en H. J'ai trouvé environ 6,9 cm.

Pour la question 2/ j'ai utilisé la tangente et j'ai trouvé environ 2,3.

Par contre, pour la question 3, je n'ai rien trouvé. En imaginant où se situe le point J, j'imagine qu'il faut utiliser Thalès, mais au moment où il faut prouver que (KJ) // (BC)
je cale...

Merci d'avance.

Bonjour,

Oui pour tes deux premières réponses.

Piste pour la fin:

Connaissant AH et HC, tu peux déduire AC : AC ≈ 9.2 cm

$aj=14acaj=\frac{1}{4}ac$

Tu peux donc trouver AJ

Avec le théorème de Thalès

$ajac=akab\frac{aj}{ac}=\frac{ak}{ab}$

En remplaçant AJ, AC, AB par leurs valeurs, tu trouveras AK

Ah d'accord ! C'est parfait, puisqu'en faisant le produit en croix : $2,39,2=ak8\frac{2,3}{9,2}=\frac{ak}{8}$ on obtient bien 2 cm !

Eh bien merci une nouvelle fois !

De rien !

Une remarque :

Vu que l'on te demande des valeurs approchées, c'est pour s'en servir et on trouve bien ainsi AK=2cm

Bien sûr, l'idéal serait de faire le calcul de AK avec les valeurs irrationnelles exactes, mais évidemment, ce serait plus difficile...et cela ne semble pas être demandé...

Si on faisait le calcul de AK avec les valeurs irrationnelles exactes, on trouverait 2 cm également ?

Tout à fait !

Avec les valeurs approchées, tu prouves que 2 est une valeur approchée de AK

Avec les valeurs irrationnelles exactes , tu prouves que 2 est la valeur exacte de AK .

Si tu es en vacances et si tu as du temps, maintenant que tu as fait le calcul de AK avec les valeurs approchées, tu peux le faire avec les valeurs exactes.

Tu as dû trouver

$\text{ah=4\sqrt 3$
$\text{hc=\frac{4}{\sqrt 3}=\frac{4\sqrt 3}{3}$

Tu peux déduire :

$\text{ac=...$

puis

$\text{aj=...$

et enfin

$\text{ak=2$

Pour AC, ça donne : $a h + h c$
$4\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Si c'est bien cela, j'aurais juste besoin d'une aide pour calculer cette racine carrée à « la main » ?

Il ne faut pas "calculer" la racine carrée.

Que ça soit à la main ou la calculette, tu ne pourras obtenir qu'une valeur approchée ...
(un nombre irrationnel a une infinité de décimales, avec un développement non périodique).

$ac=43+433=43(1+13)=43(43)ac=4\sqrt 3+\frac{4\sqrt 3}{3}=4\sqrt 3(1+\frac{1}{3})=4\sqrt 3(\frac{4}{3})$

Donc :

$ac=1633ac=\frac{16\sqrt 3}{3}$

Continue avec cette expression.

Tu dois trouver $aj=433aj=\frac{4\sqrt 3}{3}$

Ensuite, dans la proportion, il y aura des simplifications ( √3 disparait) et tu trouveras :

$a k = 2$

Bons calculs !

Je vais récapituler tout le raisonnement. J'ignore si ce que j'ai fait est bon, bien que j'ai trouvé 2 cm...

$4\sqrt{3}$
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

On connait (AH) et (HC) donc on peut en déduire AC.

$a c = a h + h c$
$ac=43+433ac=4\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Donc après on fait le calcul que vous avez effectué et on trouve $1633\frac{16\sqrt{3}}{3}$

Ensuite, on peut en déduire AJ

$\frac{1}{4} \times ac$
$\frac{1}{4} \times \frac{16\sqrt{3}}{3}$
$\frac{1\times 16\sqrt{3}}{4\times 3}=\frac{1\times 4\times 4\sqrt{3}}{4\times 3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Donc

$akaj=ajac=kjbc\frac{ak}{aj}=\frac{aj}{ac}=\frac{kj}{bc}$
$ak8=433÷1633\frac{ak}{8}= \frac{4\sqrt{3}}{3}\div \frac{16\sqrt{3}}{3}$
$\frac{4}{3}\div \frac{16}{3}$
$43×316\frac{4}{3}\times \frac{3}{16}$

$4×33×4×4\frac{4\times 3}{3\times 4\times 4 }$
$14\frac{1}{4}$

Et ensuite, par un produit en croix, on trouve 2... ?

Jusqu'à AJ, tes calculs sont bons.

Après le "donc" , vérifie car il y a des confusions.

Tu as écrit AK/AJ alors qu'ensuite il semble que tu aies pris AK/AB : c'est peut-être une faute de frappe ?

Ensuite, il y a des erreurs en simplifiant.

Je reprends avec AK/AJ

$akaj=abac\frac{ak}{aj}=\frac{ab}{ac}$

$ak=aj×abacak=aj\times \frac{ab}{ac}$

$ak=433×81633ak=\frac{4\sqrt 3}{3}\times \frac{8}{\frac{16\sqrt 3}{3}}$

$ak=\frac{4\sqrt 3}{3}\times \frac{8\times 3}{\16\sqrt 3}$

$ak=43×8×33×16×3ak=\frac{4\sqrt3\times 8\times 3}{3\times16\times\sqrt 3}$

Tu simplifies et tu obtiens 2

J'ai un doute... Vous avez mis :

$akaj=abac\frac{ak}{aj} = \frac{ab}{ac}$

Pour la première méthode, j'ai mis :

$ajac=akab\frac{aj}{ac}=\frac{ak}{ab}$

Du coup, mon égalité est fausse ?

Avec des valeurs non nulles, cela revient au même. (Ce sont des erreurs de simplification qui t'ont donné un mauvais résultat).

$ab=cd↔ac=bd↔ad=bc\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\leftrightarrow ad=bc$

Ah d'accord ! J'ai simplifié et j'ai bien trouvé 2 !

Merci bien ! Cette autre méthode m'a paru plus compliquée mais elle valait la peine d'être faite !

C'est bien !

C'est sûr que la méthode avec les valeurs exactes est nettement plus compliquée (surtout en 3ème) mais c'est la "vraie" méthode.
Si tu dois rendre cet exercice en devoir, je te suggère de proposer les deux méthodes.

Tu as bien travaillé !

C'est exactement ce que j'ai fait puisque je ne savais pas laquelle des deux méthodes voulait mon prof !

Bonsoir LilouFanDesMaths et mtschoon

Il me semble qu'une démonstration plus simple est demandée.
A partir de AJ/AC = AK/AB
Comme AJ/AC = 1/4,
on déduit AK/AB = 1/4
et comme AB = 8
AK = 1/4 x 8 = 2

Bonsoir,

Désolée de ce message si tardif... La réponse de Noémi est une autre solution ?

C'est un raccourci pour terminer le calcul de AK sans utiliser les valeurs obtenues à AJ et AC aux questions précédentes, c'est à dire en se servant exclusivement des données de l'énoncé, ce qui est plus facile (ça évite la difficulté de calcul avec des "√3").

Ah d'accord ! Merci

Comme le forum est calme, je te faisla fin des calculs avec la dernière version.

Sans utiliser les valeurs obtenues à AJ et AC (c'est un peu dommage car on n'utilise pas ainsi d'enchaînement logique entre les questions, mais c'est plus simple), tu peux utiliser directement l'hypothèse de l'énoncé.

$ajac=14\frac{aj}{ac}=\frac{1}{4}$

Vu que :

$ajac=akab\frac{aj}{ac}=\frac{ak}{ab}$ ,

on déduit

$akab=14\frac{ak}{ab}=\frac{1}{4}$

d'où

$ak=14ab=14×8ak=\frac{1}{4}ab=\frac{1}{4}\times 8$

Après simplification

$a k = 2$

Je crois que l'on a fait le tour de la question ! ! !

Bonne semaine.