Demonstration de la derivé de la fonction racine carré



  • Bien le bonjour tt le monde

    Voila il se trouve que pour un exercice de mon prochain DM de math je doit appliquer quelque chose de trés semblable a ce qu'on applique a la fonction racine carré lorsqu'on cherche sa derivé probleme mon professeur ne nous a donné que le resultat final c'est a dire
    F'( sqrtsqrtx)=1/2 sqrtsqrtx
    J'ai essayé de retrouvé cela en appliquant la formule de base mais je me retrouve tout de suite devant une difficulté que je n'arrive pas a surmonté en effet sa me donne
    sqrtsqrt(x+h)- sqrtsqrt(a)/h
    si vous pourriez me donner une demonstration complete en me montrant se que vous barrer a chaque que je ne soit pas larguer en cour de route et que je comprenne tout avec satisfaction je vous en serais reconnaissant.

    Je repasserais dans 1 ou 2 heure pour voir si quelqu'un ma repondu car j'ai pas mal de travail je vous remerci d'avance a plus tard ^_-


  • Modérateurs

    Salut.

    Je reprends à zéro:

    On cherche à trouver la forme générale de la dérivée de la fonction racine carrée.

    Soit
    f:x→√(x), et
    **f':x→f'(x)**sa dérivée.

    Je passe sur les problèmes de définition.

    Par définition, la dérivée de f en un point a(>0 ici, mais on verra plus tard pourquoi), est:

    f'$(a)=lim_{x→a}$(f(x)-f(a))/(x-a)
    f'$(a)=lim_{x→a}$(√(x)-√(a))/(x-a)

    Là on utilise une astuce!

    (x-a)=(√(x)-√(a))(√(x)+√(a)) une identité remarquable bien connue, qui est utilisable car x et a sont strictement positifs.

    Donc :

    f'$(a)=lim_{x→a}$(√(x)-√(a))/[(√(x)-√(a))(√(x)+√(a))]

    On simplifie au numérateur et au dénominateur par (√(x)-√(a)), ce qui nous donne:

    f'$(a)=lim_{x→a}$1/(√(x)+√(a))

    D'où, comme x tend vers a:

    f'(a)=1/(2√(a))

    Il est maintenant clair que a>0. Je n'ai fait que les calculs ci-dessus. Les quelques petits points à préciser pour faire une démonstration correcte sont omis volontairement. Ce qui compte c'est l'idée.

    @+

    Une remarque tout de même: √(x)=x1/2(x)=x^{1/2}.
    Comme 1/2 est rationnel, on peut se ramener à la dérivée des fonctions puissance en fait!
    On descend l'exposant, et on ôte 1 à l'exposant: (1/2)<em>x1/2(1/2)<em>x^{-1/2} =(1/2)/√(x). D'où le résultat.
    Ca t'aidera à t'en souvenir.



  • excuse moi de ne pas avoir repondu plus tot mais je tient a te remercier sa a due te prendre du temps a tapper mais l'essentiel c'est que j'ai absolument tout compris en faites toute l'astuce etait dans l'utilisation de l'identité remarquable
    Encore merci salut !


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