Donner une relation algébrique entre vecteurs

Bonjour,
J'ai un devoir maison à faire et je n'arrive pas à faire cet exercice:

Soit un triangle ABC quelconque
Soit A' le milieu de [BC] , B' le milieu de [AC] et C' le milieu de [AB] .
Soit G un point du plan distinct de A, B et C, et qui vérifie la relation vectorielle:
vecteurGA + vecteurGB +vecteur GC = vecteur0

1.Montrer que le vecteur GB + le vecteur GC = 2x le vecteur GA'
2. En déduire une relation algébrique entre le vecteur GA et le vecteur AA'
3. Tracer un triangle quelconque ABC et placer G

Merci d'avance

Bonsoir,

Piste pour démarrer,

1)Relation de Chasles

$\text{\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GA'}+\vec{A'B}+\vec{GA'}+\vec{A'C}$

$\text{\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GA'}+\vec{A'B}+\vec{A'C}$

Vu que A' est le milieu de [BC] ,

$\text{\vec{A'B}+\vec{A'C}=\vec{0}$

Donc :

$\text{\vec{GB}+\vec{GC}=...$

Merci beaucoup de l'aide, mais je n'arrive pas à voir où serait placé le point G par rapport au triangle ABC

J'espère que tu as trouvé la conclusion de la question 1)

Placer le point G par rapport au triangle ABC est une conséquence de la question 2)
(c'est le but de l'exercice)

Alors, indique si tu as fait la question 2) et ce que tu as trouvé.

Non car j'avais trouvé mauvais résultat

Piste pour la 2)

Tu as prouvé avec la 1) que

$\tex{\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GA'}$

Vu que

$\tex{\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$

En remplaçant dans la première égalité écrite, on obtient :

$\tex{\vec{GA}+2\vec{GA'}=\vec{0}$

Or

$\tex{\vec{GA'}=\vec{GA}+\vec{AA'}$

Donc

...........

essaie de trouver la relation demandée.

Il s'agirait donc de la relation de Chasles ?

Oui, on utilise la relation de Chasles comme je viens de le faire, mais termine le calcul pour trouver la relation souhaitée par ton énoncé, c'est à dire comme tu l'indiques
Citation
une relation algébrique entre le vecteur GA et le vecteur AA'

Il ne reste que 2 lignes de calcul à faire...donne ta réponse à ces deux lignes car faire tous les calculs à ta place ne te servirait à rien.

Donc le pont G se trouve au centre du triangle ABC

Tu as toujours pas indiqué ou fait tes calculs...donc rien n'est prouvé...

G est le centre de gravité du triangle ( intersection des 3 médianes ),le but de l'exercice étant de de démontrer !

Donc le vecteur GA=vecteur GB=vecteurGC

Et le vecteur AA'=2x le vecteur GA'

Citation
Donc le vecteur GA=vecteur GB=vecteurGCNON

Citation
Et le vecteur AA'=2x le vecteur GA'NON

Je ne comprends guère tes raisonnements...

Je pense que tu devrais revoir ton cours et les exercices qui ont été fait en cours, car tu ne semble pas maitriser la démarche.

Je te termine les deux dernières lignes du calcul du 2)

$\text{\vec{GA}+2(\vec{GA }+\vec{AA'})=\vec{0}$

$\text{3\vec{GA}+2\vec{AA'}=\vec{0}$

C'est une relation demandée par ton énoncé.

En transformant un peu, tu peux écrire :

$\tex{\vec{GA}=-\frac{2}{3}\vec{AA'}$

ou, si tu préfères

$\tex{\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AA'}$

Tu peux ainsi placer G sur la médiane (AA')

Le raisonnement pouvant s'appliquer de façon identique sur (BB') et (CC'), G est le point d'intersection des trois médianes du triangle.

REMARQUE : je te conseille de revoir cet exercice, de le refaire seul(e) ensuite, car si tu te contentes de recopier des calculs, tu ne progresseras pas...

Bon travail.