complexes - Puissance

bonjour dans un exo il le dis de prouver que z^n est réel j'ai trouver arg(z)=-pi/4 en a la régle de arg(z^n)=n.arg(z) comment en prouve qu'il est réel

Bonjour,

Principe général: un nombre complexe non nul est réel si et seulement si son argument vaut 0 [∏]

en a trouver dans l'éxo -n.pi/4=kpi aprés en a touver n=4 j'ai pas compris comment a trouver 4

J'espère que, dans ma réponse précédente, tu as compris que 0 [∏] veut dire 0+k∏ avec k ∈ Z, c'est à dire k∏, k∈Z

Pour ta dernière question, je lis

$−n.π4=kπ-n.\frac{\pi}{4}=k\pi$

nécessairement, $k∈zk\in z$

Isole n :

$n=kπ−π4=kπ×(−4π)n=\frac{k\pi}{-\frac{\pi}{4}}=k\pi\times (-\frac{4}{\pi})$

Simplifie :

$k∈zn=-4k\ ,\ k\in z$

n est donc multiple de 4

En particulier, pour k=-1, n=4

quand en a fais kpi.(-pi/4) il est ou le n

Relis.

$n = . . .$

pouruoi ta fais k=-1

Tu n'as pas donné l'énoncé entier mais seulement une petite partie ...alors je n'ai pas la globalité.

Vu que n=-4k avec k ∈ Z et que tu veux trouver n=4, il faut prendre k=-1.

z=1-3i/2-i écris au forme algébrique puis trouver arg(z) aprés la deuxiéme question trouve un nombre naturelle n pour que z^n sois un nombre réel

Donc, je résume

$arg(z)=−π4z=\frac{1-3i}{2-i}=1-i \ \ |z|=\sqrt 2 \ \ arg(z)=-\frac{\pi}{4}$

Ton énoncé doit te dire à quelle ensemble appartient n ( N ? Z ? ), mais tu ne l'indiques pas...tant pis.

$arg(zn)=−nπ4arg(z^n)=-n\frac{\pi}{4}$

D'après les calculs faits dans cette discussion, $z^n$ est réel pour n=-4k, avec k∈Z

Cela veut dire que $z^n$ est réel pourn multiple de 4 ; il y a une infinité de valeurs de n, vu que pour chaque valeur de k, il y a une valeur de n

exemples :

pour k=-1, n=4
pour k=-2, n=8
pour k=-3, n=12
etc

L'énoncé demandeUNEvaleur de n pour laquelle $z^n$ est réel

n=4 est donc une réponse exacte.

si en dis 2 en calcule -2 et -3 ?

Ce que tu dis n'est vraiment pas clair !

Si l'énoncé te demandait DEUX valeurs de n, tu aurais pu dire, par exemple, 4 et 8 ( mais il y a une infinité de possibilités ! )

n=4 correspond à k=-1
n=8 correspond à k=-2

quand en a fais kpi.(4/-pi) comment ta fais pour touver n=-4k

$kπ.4−π=4kπ−πk\pi.\frac{4}{-\pi}=\frac{4k\pi}{-\pi}$

En simplifiant par ∏ (c'est à dire en barrant les ∏), on obtient -4k

ah dacc merci

De rien.