En utilisant la méthode du taux d’accroissement, prouver qu'une fonction est dérivable

Bonjour, voici un exercice de dérivation :

w : ]0;+∞[ → R
x→ 2x−4/x²

1)En utilisant la méthode du taux d’accroissement, prouver que la fonction w est dérivable en 1 et que
w′ (1) = 6
2) Déterminer l’équation de la tangente à Cw au point d’abscisse 1
3) Exprimer la fonction dérivée de w sur ]0;+∞[ et retrouver w′(1)

Merci de m'aider.

Bonjour,

Deux précisions à donner

est-ce

$f(x)=2x−4x2f(x)=\frac{2x-4}{x^2}$

ou

$f(x)=2x−4x2f(x)=2x-\frac{4}{x^2}$

Comme tu n'as pas mis de parenthèses, il y a doute.

Dans ton cours, comment est exprimé le taux d’accroissement?

Est-ce

$f(x)−f(a)x−a\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

ou

$f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Merci pour ces précisions.

Bonjour, alors c'est le premier c'est à dire : f(x) = (2x-4)/x²

Sinon c'est f(a+) - f(a)/h

Lance toi dans les calculs

Ici a=1

$f(1+h)=2(1+h)−4(1+h)2=2h−2(1+h)2f(1+h)=\frac{2(1+h)-4}{(1+h)^2}=\frac{2h-2}{(1+h)^2}$

$f (1) = - 2$

$f(1+h)−f(1)h=2h−2(1+h)2+2h=2h−2+2(1+h)2(1+h)2h=2h−2+2(1+h)2h(1+h)2\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\frac{2h-2}{(1+h)^2}+2}{h}=\frac{\frac{2h-2+2(1+h)^2}{(1+h)^2}}{h}={\frac{2h-2+2(1+h)^2}{h(1+h)^2}}$

Tu développes le numérateur , tu mets h en facteur au numérateur

Tu pourras ainsi simplifier par h

Tu dois trouver après simplification :

$f(1+h)−f(1)h=2h+6(1+h)2\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2h+6}{(1+h)^2}$

Pour avoir le nombre dérivé, tu fais tendre h vers 0

Merci.

De rien !