complexes - Quotient

bonsoir comment en est écris la forme algébrique de z=-1=i√3/1-i aprés il me dise de trouver cos11pi/2 et sin11pi/12

Bonsoir,

Revois ce que tu as écrit : il doit y avoir une faute de frappe dans

Citation
z=-1=i√3/1-i

En plus, met suffisamment de parenthèses pour ce soit clair.

Je suppose que tu as mis "=" au lieu de "_"

$z=−1+i31−iz=\frac{-1+i\sqrt 3}{1-i}$

J'espère que c'est bien ça.

Piste,

Soit

$z1=−1+i3z_1=-1+i\sqrt 3$

Après transformation

$z1=2(cos⁡2π3+isin⁡2π3)z_1=2(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3})$

$[2π]arg(z_1)=\frac{2\pi}{3}\ \ [2\pi]$

$z_2=1-i$

Après transformation

$z2=2(cos⁡−π4+isin⁡−π4)z_2=\sqrt 2(\cos \frac{-\pi}{4}+i\sin \frac{-\pi}{4})$

$[2π]arg(z_2)=\frac{-\pi}{4}\ \ [2\pi]$

D'où

$[2π]arg(z)=arg(z_1)-arg(z_2)=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{8\pi+3\pi}{12}=\frac{11\pi}{12}\ \ [2\pi]$

CQFD

Bon travail.

je sais ca aprés ils demandent de donner les valeurs excats de cos11pi/12 et sin 11pi/12

D'après les calculs précédents :

$11π12=2π3+π4\frac{11\pi}{12}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$

$π4\frac{2\pi}{3} \ et \ \frac{\pi}{4}$ sont deux angles remarquables dont tu connais le sinus et le cosinus.

Tu peux utiliser les formules d'addition sin(a+b) et cos(a+b) pour répondre à la question.

Autre façon sans utiliser les formules d'addition : en utilisant les formes algébrique et trigonométrique de z (c'est sans doute ce que souhaite ton professeur)

$z=−3−12+i(3−12)=2(cos⁡11π12+isin⁡11π2)z=\frac{-\sqrt 3-1}{2}+i(\frac{\sqrt 3-1}{2})=\sqrt 2(\cos\frac{11\pi}{12}+i\sin\frac{11\pi}{2})$

Tu peux ainsi isoler le sinus et le cosinus.

Tu as donc le choix pour la méthode.

(Tu peux faire les deux méthodes, ce qui te permettra de vérifier que tu trouves pareil)