Etudier les variations d'une fonction avec racine carrée

[julle]

Bonjour, je me présente julle, alors voila notre prof de maths nous a donner un dm de maths à faire pendant les vac et autant vous dire que je n'y arrive pas du tout malgrè mon bon niveau et ca m'agace. Donc si qqlun pourrait m'aider je lui en serait très reconnaissant!

Voila le sujet:*
Soit f définie par f(x)=sqrt(x)+1/sqrt(x)

1. Donner l'ensemble de définition de f et de f'
2. Caculer f'(x) pour x appartient à Df'
3. Etudier les variations de f
4. En déduire que pour tout x>0, sqrt(x)+1/sqrt(x)>2

Ou j'en suit:

1. -Df= [0;+l'inifni[
   -Df'= ]0;+l'inifini[

2. On pose:
   -u(x)=sqrt(x) -u'(x)=1/2sqrt(x)
   -v(x)=1/sqrt(x) -v'(x)= et c'est la que je boque

Merci d'avance!!

[mtschoon]

Bonjour,

Attention à Df

vu que √x est au dénominateur, x ne peut pas prendre la valeur 0

DoncDf=]0,+∞[

Pour V'(x) qui te pose problème, tu as le choix (suivant ton cours)

Si tu sais que la dérivée de 1/W est -W'/W² , tu l'appliques.

Sinon, tu utilises la dérivée d'un quotient.

Tu dois trouver

$v^{\prime }(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

[julle]

tout d'abord merci de m'avoir répondu.
C"est ok pour la question 1!
Ensuite pour la 2 on mavait dit que 1/sqrt(x) c'est équivaut à x^(-1/2) et puis qu'il fallait
appliquer la règle c-à-d -1/2x^(3/2)

[mtschoon]

Si tu connais les exposants fractionnaires, la règle que tu indiques est exacte et cela revient au même.

Mais dans ce cas, je ne comprends pas où est ta difficulté... ?

[julle]

mais en fait le truc c'est que je n'étais pas du tout sur...et de fait -1/2x^(3/2) ce n'est pas la mm chose que -1/2xsqrt(x)

[mtschoon]

S'il te faut une explication pour les exposants fractionnaires (j'ignorais qu'ils faisaient partie du programme de 1S...):

Pour x positif,

$x\times \sqrt x=(\sqrt x)^2\times \sqrt x = (\sqrt x)^3=(x^{\frac{1}{2})^3=x^{\frac{3}{2}}$

[julle]

daccord...

Donc on pose:
-u(x)=sqrt(x) -u'(x)=1/2sqrt(x)

-v(x)=1/sqrt(x) -v'(x)= -1/2x^(3/2)
=x^(-1/2)

Pour tout x appartient à Df':
f'(x)=u'(x)+v'(x)

= $\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2x^{3/2}}$

=$\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2(x^{1/2}{)}^3}$

=$\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2sqrt(x{)}^3}$

=$\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2sqrt(x{)}^2\ast sqrt(x)}$

=$\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2x\ast sqrt(x)}$

Est-ce bon?

[julle]

$\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2x^{3/2}}$

=$\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2(x^{1/2}{)}^3}$

=$\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2sqrt(x{)}^3}$

=$\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2sqrt(x{)}^2\ast sqrt(x)}$

=$\frac{1}{2sqrt(x)}-\frac{1}{2x\ast sqrt(x)}$

[mtschoon]

Je trouve un peu lourd de passer par les exposants fractionnaires ( pour les supprimer ensuite) , mais peut-être que tu préfères...

C'est bon pour f'(x) ; réduis au même dénominateur $2x\sqrt{x}$ qui est strictement positif sur ]0,+∞[

le signe de f'(x) sera ainsi le signe du numérateur

[julle]

Je ne vois pas comment réduire au même dénominateur 2xsqrt(x)....

[mtschoon]

Vraiment ? ...

$f^{\prime }(x)=\frac{x}{2x\sqrt{x}}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}=\frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$

[julle]

ah d'accord... merci
Et pour étudier ses variations il faut résoudre l'inéquation suivante:

$\frac{x-1}{2(x)sqrt(x)}$ ≥ 0 ?

[mtschoon]

Tu annonces que tu as "un bon niveau", donc cela ne doit pas te poser problème !

Il faut étudier le signe de f'(x), dont le dénominateur est positif sur ]0,+∞[

Il te reste à étudier seulement le signe du numérateur.

[julle]

je voulais être sur...
Donc cela donne x≥1

d'ou le tableau:

x ! 0 1 +l'infini

x-1 ! - 0 +

2xsqrt(x) ! + +

f'(x) ! - 0 +

f(x) ! CROISSANT

C'est sa?

[julle]

$\left[\begin{array}{ccccccccccccccc}x& amp;0& amp;1& amp;+\infty x-1& amp;-& amp;0& amp;+2(x)sqrt(x)& amp;+& amp;+& amp;+f^{\prime }(x)& amp;-& amp;0& amp;+f(x)& amp;croissant& amp;\end{array}\right]$

Peut-etre que c'est plus lisible

[mtschoon]

Regarde un peu ton cours...

C'est bon seulement pour x ≥ 1

Pour f'(x) < 0, f est décroissante !

[julle]

$\left[\begin{array}{ccccccccccccccc}x& amp;0& amp;1& amp;+l^{\prime }infinix-1& amp;-& amp;0& amp;+2(x)sqrt(x)& amp;+& amp;+& amp;+f^{\prime }(x)& amp;-& amp;0& amp;+f(x)decroissant& amp;2& amp;croissant\end{array}\right]$

[julle]

c'est ca ?

[mtschoon]

Les signes ne sont pas mis aux bons endroits mais je suppose que tu les as mal disposés.

Pour x=0, il doit y avoir une double-barre pour f'(x) et pour f.

le sens de variation de f est bon.

(remarque : c'est les sens de variation de f, pas de f(x) ).

[julle]

d'accord...

Enfin, comment fait-on pour montrer que pour tout x>0 , $sqrt(x)+\frac{1}{sqrt(x)}$ ≥2

[mtschoon]

réfléchis en regardant le tableau de variation.

[julle]

help me please

[mtschoon]

Je répète :

Citation
réfléchis en regardant le tableau de variation.

Il n'y a rien d'autre à faire...

[julle]

ah il n'y a rien à démontrer? il n'y a pas de calcul à faire?

Ou sinon je dois dire que pour tout x>0, $sqrt(x)+\frac{1}{sqrt(x)}$>2 car son extremum est égale à 2

[mtschoon]

L'idée est bonne mais parle de minimum

De plus, ce n'est pas ... > 2 mais ... ≥ 2

[julle]

Ah oui c'est vrai merci!!

Donc en gros je dois dire que pour tout x>0, sqrt(x)+1/sqrt(x)≥2 car f a pour minimum 2?

[mtschoon]

Oui, et ton énoncé précisait bien "En déduire" !