Etudier la définition, la dérivabilité et les variations d'une fonction

Bonjour, je ne sais pas comment m'y prendre pour résoudre cet exercice :

h : Dh → ℜ
x→ x²+x+1/x²-1

Préciser l’ensemble de définition Dh
Justifier brièvement la dérivabilité de h sur Dh et calculer h′(x) pour tout x de Dh
En déduire les variations de h (réaliser le tableau de variations)
Prouver que pour tout x > 1, h(x)>1
Expliquer pourquoi l'intervalle [6-3√3/6-4√3;6+3√3/6+4√3] ne contient aucune image par h

Merci.

Bonjour,
Je suppose que h(x) = x² + x + 1/(x²-1) ?
Dans ce cas, l'ensemble de définition est l'ensemble R privé de toutes les valeurs annulant le dénominateur.

Oui, donc R \ {1} ?

Non : x²-1 s'annule pour deux valeurs de x, pas pour une seule.

Pour 0 aussi sa s'est pas marquer.

Non, pas 0.
Le dénominateur est x²-1.
Il s'annule pour x=1, pas pour x = 0, mais pour une autre valeur.

-1 ?

Oui.

Pour la dérivée de h'(x) c'est u/v donc (2x+1)(x²-1) - 2x(x²+x+1) / (x²-1)²
J'ai trouver : -x² -4x - 1 / (x²-1)² c'est juste ?
Mais pour justifier brièvement la dérivabilité de h sur Dh pas d'idée... ( à moins que comme c'est une fonction rationnelle elle est dérivable sur ℜ \ ) ?

Oui, mais tu m'as mal indiqué la fonction : placement des parenthèses.
h(x) = (x²+x+1)/(x²-1) , et pas x²+x + 1/(x²-1) comme je t'avais demandé.
Il faut faire attention à écrire correctement les énoncés.
Mais, il s'agit bien de (x²+x+1)/(x²-1), et ta dérivée serait juste si encore une fois tu plaçais correctement les parenthèses :
h '(x) = (-x² - 4x -1)/(x²-1)²

Pour la justification "rapide", tu peux dire en effet qu'il s'agit d'une fonction rationnelle, dérivable sur son ensemble de définition, ici R{-1,+1}

Donc si j'ai bien compris, h est une fonction rationnelle donc dérivable sur ℜ \ {-1;1}.
Ainsi ∀ x ∈ Dh la dérivée h'(x) = (-x² - 4x -1)/(x²-1)² ?

Oui.
Tu peux passer à la suite.

Le signe de la dérivée est celui du numérateur -x² - 4x -1 (donc du signe de a à l’extérieur des racines)
h'(x)=0 ⇔ -x² - 4x -1 = 0 donc (avec delta=12) on a x= -2-√3 et x=-2+√3
Le tableau de mauvaise qualité...
x -∞ -2-√3 -1 -2+√3 1 +∞

h'(x) - 0 + ll + 0 - ll -

h flèche bas 11-√3 haut ll haut 11+√3 bas ll bas

Oui, si tu n'arrives pas à bien représenter le tableau, décris-le :
h décroît sur ]-∞ ; -2-√3]
h croît sur [-2-√3 ; -1[
etc...

Je reviens un peu plus tard.

D'accord, donc on a :

en x : -∞ -2-√3 -1 -2+√3 1 +∞
signe h'(x) : - 0 + ll + 0 - ll - (avec -1 et 1 qui s'annule donc double barre ll et les racines égales à 0)
variations de h : h décroît sur ]-∞ ; -2-√3] avec 11-√3 comme max, h croît sur [-2-√3 ; -1[ , h croît sur [-1;-2+√3[ avec 11+√3 comme max, h décroît sur [-2+√3;1[ de même pour [1;+∞[

Citation
11-√3 comme maxPlutôt comme minimum, mais revois le calcul de cette valeur (ainsi que de l'autre).

Oui le minimum pour celle là mais je sais pas comment trouver ces 2 valeurs..

Mais alors d'où viennent tes réponses ? (11-√3 et 11+√3)

J'ai remplacé x par -2-√3 et -2+√3 dans l'expression initiale de h...

Oui, veux-tu détailler les calculs pour -2-√3 ?

J'avais dû me tromper car : (-2-√3)²+(-2-√3)+1 / ((-2-√3)²-1) = 6+3√3 / 6+4√3
=12+9√3/2 ?

Les parenthèses s'il te plait !
(6+3√3) / (6+4√3), avec les parenthèses, est juste, mais pas la fin.
Je te conseille tout de même de reprendre cette fin, même si la dernière question incite à conserver (6+3√3) / (6+4√3) (de fait, je trouve l'exercice mal posé).

Cela donne √3/2 et -√3/2 ?

Exact.
Pour la question suivante, tu as le choix :

manipuler des inégalités,
ou utiliser le tableau de variation, du moins le dernier intervalle, à condition de chercher les limites en 1 et +∞.

Le dernier intervalle c'est sur [1;+∞[, avec h qui décroît. La limite de +∞ c'est +∞ ? et 1 je ne sais pas comment faire.

Citation
La limite de +∞ c'est +∞ ?Non.

Pour une fonction rationnelle, la limite quand x tend vers l'infini est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré (si les degrés sont les mêmes).
Quant à la limite en 1, c'est évident : le dénominateur tend vers 0, donc le quotient tend vers l'infini.
Aide-toi du tableau de variation pour bien comprendre.

Attention : le dernier intervalle est ]1 ; +∞[ et pas [1 ; +∞[.

Je ne suis pas sur de comprendre : "le quotient des coefficients des termes de plus haut degré" comment peut on définir ce quotient en limite?

Tu disais avoir étudié les fonctions rationnelles.
Exemple : f(x) = (3x² + 4x - 7) / (2x² - 7x + 9)
Les termes de plus haut degré sont 3x² et 2x².
Important : le degré est le même.
Les coefficients de ces termes sont 3 et 2.
La limite lorsque x tend vers l'infini (+∞ ou -∞) est 3/2 (voir cours).

Ici, c'est 1/1 = 1.

Je suis maintenant obligé de me déconnecter.
On verra demain si personne d'autre ne t'aide d'ici là.
Pour en revenir à cette question, si les limites te paraissent trop difficiles, tu peux aussi utiliser des inégalités.

Pas de soucis on verra demain pour la méthode avec les inégalités quand tu te reconnectera car les limites un peu trop dur...
Bonne soirée.

Re bonjour,
Tu ne continues pas ?

Re, si je voudrais savoir comment prouver le 4 avec les inégalités?

Si x >1, le numérateur et le dénominateur sont positifs.
Pour savoir si le quotient est plus grand que 1, il suffit donc de regarder si le numérateur est plus grand que le dénominateur.

On a x >1 (avec le numérateur et le dénominateur positifs.)
Donc x²+x+1 > x²-1 ⇔ x² + x + 1/(x²-1) > 1
C'est ça?

Presque : toujours l'oubli des parenthèses ...

(x²+x+1) >( x²-1) ⇔ (x² + x + 1) /(x²-1) > 1 plutôt ?

Les parenthèses ne sont obligatoires qu'à droite.
Maintenant, résous l'inéquation x²+x+1 > x²-1

x²+x+1 > x²-1
⇔ x > -2 ?

Oui.
Or, si x > 1 , x est forcément supérieur à -2.
D'où le résultat.

Pour la dernière question, observe bien le tableau de variation.

Attention : il y a une erreur dans l'énoncé : c'est l'intervalle ouvert qu'il faut prendre, pas l'intervalle fermé.

Dans l'intervalle [6-3√3/6-4√3;6+3√3/6+4√3], h croît.
Oui mal recopié.

Et dans cet intervalle x<1 donc h(x)<1 ..?