Résoudre un problème sur les probabilités

Devoir maison :
"Le problème qui suit a été posé à Galilée par Cosme II de Médicis, grand-duc de Toscane (son ancien élève)
au début du XVII e siècle. Ce dernier, amateur de jeux, avait remarqué qu’en jetant trois dés et en faisant le
total, il atteignait plus souvent 10 que 9. Ce résultat lui paraissait contre intuitif car il avait dénombré autant
de façons différentes de faire 9 que de faire 10. Galilée répondit à ces interrogations dans un traité rédigé en
1620. Qu’en pensez-vous ?"

Franchement je ne sais pas quoi répondre à ça, je ne sais même pas par où commencer...

Merci de m'aider

Bonjour,
Le grand duc s'est trompé dans le décompte du nombre de façons d'obtenir 9 ou 10.
Pour information : il y a 25 façons (sur 216) d'obtenir 9.
A toi de voir combien il y a de façons d'obtenir 10.

pourquoi sur 216 ?

C'est le nombre total de jets possibles : 6 possibilités pour le premier dé, 6 pour le second, et 6 pour le troisième.
Soit en tout : 666 = 216.

D'accord, je ne comprend pas comment trouver 25..

C'est un problème de dénombrement.
Tu peux obtenir le total de 9 de différentes façons :
1 + 2 + 6
ou 1 + 6 + 2
ou 2 + 1 + 6
etc ...
A toi de voir les différentes possibilités et de les compter.

Je dois écrire toutes les façons puis les compter où je peux trouver une manière plus simple?..

Au choix.
J'ai commencé avec 9 obtenu en ajoutant 1,2, et 6 (il y a d'autres possibilités).
Mais avec juste ces nombres-la, combien de façons ? (j'en ai écrit 3 mais il y en a plus : essaie de voir combien sans les écrire).

Pour l'instant avec 10 j'en ai trouvé 6, mais il doit y avoir un calcul pour trouver plus simplement non ?..

Attends : commence par répondre à ma question sinon on va tout mélanger.
Pour l'instant, on cherche à obtenir 9 (on verra après pour 10).

Mais tu as déjà dit qu'il y avait 25 possibilités non ?

Et tu m'as répondu cela :
Citation
D'accord, je ne comprend pas comment trouver 25..Cela ne servirait à rien d'avoir une réponse sans savoir comment on la trouve !

Oui oui d'accord mais j'ai compris qu'il fallait calculer toutes les possibilités mais il y'a un calcul non ? Je dois tous chercher puis les compter ?...

Citation
Au choix.
J'ai commencé avec 9 obtenu en ajoutant 1,2, et 6 (il y a d'autres possibilités).
Mais avec juste ces nombres-la, combien de façons ? (j'en ai écrit 3 mais il y en a plus : essaie de voir combien sans les écrire).

J'ai trouvé 6 façon..

Uniquement avec 1,2, et 6 ? oui.
Mais on peut obtenir 9 autrement, par exemple avec 1,3, et 5 : combien de façons ?

J'ai trouvé :
4+2+3
2+2+5
3+1+5
4+1+4
2+1+6
3+3+3
J'en trouve pas d'autres..

Tu trouves 6 façons au lieu de 25 : tu commets la même erreur que le grand duc.
Mais tu ne tiens aucun compte de mes messages !
Avec 1,2,et 6, tu as écrit 2+1+6.
Mais il y a aussi 1+2+6, 6+1+2, ...
Combien de façons uniquement avec 1,2, et 6 ?
Tu as répondu 6, mais je ne suis plus sûr que tu aies répondu à cette question-la et pas à autre chose.
Écris toutes les façons puisque tu n'arrives pas à les compter.
J'ai déjà commencé :
1+2+6
1+6+2
2+1+6
2+6+1
6+1+2
6+2+1
1+3+5
continue.

36 facons en tout..
6*6

Je vais finir par laisser tomber.
En tout, je t'ai déjà dit 216.
Mais ces 216 possibilités ne fournissent évidemment pas toutes un total de 9.
Pour la dernière fois, réponds à mon dernier message :

J'ai déjà commencé :
1+2+6
1+6+2
2+1+6
2+6+1
6+1+2
6+2+1
1+3+5

continue.

6+2+1
6+1+2
1+2+6
1+6+2
2+1+6
2+6+1
5+3+1
5+1+3
3+1+5
3+5+1
1+3+5
1+5+3
5+2+2
2+5+2
2+2+5
4+4+1
1+4+4
4+1+4
4+3+2
4+2+3
3+2+4
3+4+2
2+3+4
2+4+3
3+3+3

C'est juste. Compte, cela fait bien 25 façons.
Maintenant, recommence pour obtenir 10 :
1+3+6
Continue.

Avec 10 il y en a 27 :
6+3+1
6+1+3
1+3+6
1+6+3
3+1+6
3+6+1
6+2+2
2+6+2
2+2+6
5+4+1
5+1+4
1+4+5
1+5+4
4+1+5
4+5+1
5+3+2
5+2+3
3+2+5
3+5+2
2+3+5
2+5+3
4+4+2
2+4+2
2+2+4
4+3+3
3+4+3
3+3+4

Exact.
Donc, il y a davantage de chances d'obtenir 10 que 9.
En quoi le grand duc s'est-il trompé ?
Comme toi à un moment, pour obtenir 9, il a écrit
1+2+6
1+3+5
1+4+4
2+2+5
2+3+4
3+3+3
Soit 6 possibilités.
Mais il n'a pas tenu compte du fait que ces possibilités ne sont pas équiprobables. Ainsi, par exemple, 3+3+3 ne peut s'obtenir que d'une seule manière, alors que 1+4+4 peut s'obtenir de 3 manières.
Avec la même erreur de raisonnement pour obtenir 10, il trouve encore 6 façons et croit donc qu'il y a autant de chances d'obtenir 10 que 9.
Alors qu'en réalité, il y en a un peu plus, ce qui est confirmé par son expérience du jeu.
En conclusion : pas de "paradoxe". L'archiduc a simplement mal compté.
Mais il faut reconnaître que les proba sont souvent peu intuitives.

Merci beaucoup j'avais du mal à comprendre mais c'est clair maintenant..
Merci de ta patience

De rien.
Bon courage.