Calcul des dimensions de sous espaces vectoriels

Bonsoir
Lorsqu'on additionne deux sous espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E est-ce que leur dimension (la dimension de la somme des ces deux sous espaces vectoriels) peut être supérieur à celle du l'espace vectoriel E ?

Soient A et B deux sous espaces vectoriels tq A=B; dans un livre il y a écrit A+B=A=B pourquoi ils n'ont pas écrit A+B=2A=2B ???

Merci d'avance

Bonsoir linam,

Tu es dans le cas A = B donc l'intersection donne ....
et la dimension ....

Un lien vers un site : http://sfb649.wiwi.hu-berlin.de/fedc_homepage/xplore/ebooks/html/alg/algebrehtmlnode32.html

Bonjour,

Je crois Linam, que c'est le "+" que tu interprètes mal.
Cela n'a pas le sens usuel.

Pour ta première question

A et B étant deux sous-espaces vectoriels d'un espace Vectoriel E, soit H=A+B (appelé somme de A et de B)

H est l'ensemble des vecteurs z de E qui s'écrivent z=x+y, avec x∈A et y∈B.
Tu peux démontrer que H est un sous-espace vectoriel de E (c'est un théorème qui doit être dans ton cours)

Comme tout sous-espace vectoriel de E, dim H ≤ dim E

Pour ta seconde question, je ne sais pas trop ce que tu entends par 2A...
2A a une signification, mais pas celle que tu sembles lui donner.

2A est l'ensemble des vecteurs de la forme 2x, avec x∈A
Vu que A est un espace vectoriel, A est stable pour la multiplication par un scalaire, donc 2x∈A
Réciproquement, si tu prends un élément t de 2A,il existe x de A tel que t=2x .
donc, toujours par stabilité de la multiplication par un scalaire, t∈A
Donc : 2A=A
(Idem pour 2B)

Si A=B, je te conseille de revenir tout simplement à la définition de A+B indiquée ci-dessus et tu prouveras logiquement que A+B=A=B