Calculs de probabilités à l'aide de la loi binomiale

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je ne comprend pas quelle démarche il faut faire pour parvenir aux réponses.
Voici l'énoncé : Un constructeur de formule 1 fabrique des moteurs de compétition. La probabilité qu'un de ces moteurs soit "bons", c'est à dire qu'ils ne cassent pas lors d'un grand prix est de 0.8
On s'intéresse aux moteurs montés sur une voiture donnée au cours d'une saison formée de 16 grands prix. Les moteurs sont changés à chaque compétition et on admet que les choix des moteurs sont indépendants les uns des autres. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de moteurs qui cassent au cours d'un grand prix.

Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres.
Représenter graphiquement cette loi.
Quelle est la probabilité que les 16 moteurs soient bons ?
Quelle est la probabilité que seulement 2 moteurs cassent ?
Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs casse ?
Quel est le nombre moyen de moteurs cassés auquel on peut s'attendre au cours d'une saison ?
On suppose, dans cette question uniquement que le nombre de grand prix est "n" et que "n" appartient à $mathbb{N}$ Quelle doit être la plus petite valeur de "n" pour que la probabilité qu'au moins un moteur casse dans la saison soit de 0.99 ?

J'ai juste répondu à la question 1 : La loi suivie par X est (tableau)
état du moteur : 0 1
P(X=K) : 0.2 0.8

Et ses paramètres sont B( 16 ; 0.8)

J'espère que vous pouvez me donner quelque tuyaux et méthodes de recherches pour cet exercice.

Merci , cordialement

Bonjour,

Quelques pistes pour démarrer,

Attention : X est le nombre de moteurs qui cassent

Donc la probabilité qu’un moteur casse est 1-0.8=0.2

X suit bien la loi binomiale de paramètre 16 , 0.2 :B(16 ; 0.2)

nombre d'épreuves n=16

Sur chaque épreuve, la probabilité d'un « succès » (moteur qui casse) est p=0.2

La représentation graphique est une courbe en cloche (regarde peut-être ce qu'en dit ton cours)

3)Soit k le nombre de succès sur n épreuves (c'est du cours) :

$\text{p(x=k)={{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}$

$\text{p(x=k)={{16}\choose{k}}0.2^k(0.8)^{16-k}$

Tu peux ainsi répondre à la plupart des questions

Pour 3) Tu calcules P(X=0), c'est à dire k=0

Pour 4) Tu calcules P(X=2), c'est à dire k=2

Pour 5) Tu calculesP(X ≥ 1) (passe par l'évènement contraire)

Pour 6) Tu calcules E(X)(voir cours)

Tu regarderas la dernière question quand tu auras fait cela.

Pour la 2 je regarderais dans mon cours

P(X=16) = (16 ;16) x (0.2)^16 x (0.8)^16-16
= 1 x 0.2^16 x 0.8^0
~ 6.56*10^-12
P(X=2) = (16 ; 2) x (0.2)^2 x (0.8) ^14
~0.21
E(X) = np
= 16 x 0.2
= 3.2
je vais revoir mon cours

Voilà déjà pour ces questions

Pour le 3), ce n'est pas P(X=16) qu'il faut calculer

Tu as écrit :
Citation
Quelle est la probabilité que les 16 moteurs soient bons ?
Si 16 moteurs sont bons, il n'y a aucun qui casse, donc X=0

Tu dois calculer P(X=0) comme je te l'ai déjà indiqué

Tes réponses à la 4) et à la 6) sont bonnes

Une piste de plus pour la 5) :

P(X ≥ 1)=1-p(X=0)

Oups , donc
3) P(X=0) = (16 ; 0 ) x 0.2^16 x 0.8^16
~ 1.84* 10^-13

P(x≥1) = 1 - 1.84*10^-13
~1

Pour la 3), il y a une erreur dans ta formule de p(X=0) ; relis et recompte.

La 5) sera bonne lorsque tu auras rectifié la 3)

P(X=0) = (16 ; 0 ) x 0.2^0 x 0.8^16
~ 0.005
P(x≥1) = 1 - 0.005
= 0.995

La formule est juste maintenant

$\times 1 \times 0.8^{16}=0.8^{16}$

valeur approchée : 0.005 ? Vérifie à la calculette . J'ai un doute...

J'en profite pour regarder la 7)

Tu as écrit
Citation
Quelle doit être la plus petite valeur de "n" pour que la probabilité qu'au moins un moteur casse dans la saison soit de 0.99 ?

Cette question est mal formulée.

La phrase, telle quelle est écrite, revient à chercher n naturel pour que P(X≥1)=0.99
C'est une équation d'inconnue n qui donnera une seule valeur de n (non naturelle) et non inéquation...

Il faudrait que la phrase de l'énoncé puisse se traduire par :

P(X≥1) ≥ 0.99

Peut-être as-tu mal recopié (ou oublié un mot) vers la fin de la phrase?

Vérifie.

Non P(X=0) = ~0.028 , je me suis trompée.

Déjà on sait que P(X=0)= 0.028 , P(X=1) = 0.11
Et l'énoncé est bien formulé comme ça.

C'est bon pour la 6)

Si l'énoncé de la 7) est formulé comme tu l'indiques, il faut faire avec...mais l'expression**"la plus petite valeur de n"** n'aura guère de sens...vu qu'il n'y aura qu'une seule valeur de n (non naturelle de surcroit...)
Quelque chose ne va pas dans l'énoncé écrit...

En appliquant l'énoncé écrit :

tu cherches donc n tel que P(X≥1)=0.99

tu passes par l'évènement contraire : 1-P(X=0)=0.99

cela équivaut à : P(X=0)=0.01

tu explicites P(X=0) avec la formule de la loi binomiale. ; tu obtiens une équation d'inconnue n : 0. $8^n$ =0.01

Pour trouver n, tu pourras te servir de la fonction TABLE de ta calculette par exemple.

Remarque :

Si la question était du genre Quelle doit être la plus petite valeur de "n" pour que la probabilité qu'au moins un moteur casse dans la saison soit de 0.99 au moins?
ou

Quelle doit être la plus petite valeur de "n" pour que la probabilité qu'au moins un moteur casse dans la saison soit de 0.99 ou plus?

il aurait fallu résoudre :

P(X≥1) ≥ 0.99

Après transformations : P(X=0) ≥ 0.001 <=>0. $8^n$ ≥ 0.01

A la calculette : n ≥ 21

La plus petite valeur de n satisfaisante serait donc 21

Ainsi, la question aurait eu vraiment un sens...