Domaine de définition d'une fonction trigonométrique 1



  • Alors bonjours, je suis un élève de 5ème général ( Système belge ). Bref, je dois effectuer un examen de rattrapage en septembre mais je n'arrive pasç réaliser les exercices que l'on m'a donné 😞 . Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
    Alors voilà j'ai 5 exercices de domaine de définition d'une fonction trigonométrique mais je n'arrive pas à m'ensortir .. Voilà la fonction:

    4sin24sin^2x + 2(√2 - 1)sinx -√2 / sin(x - π/6)

    PS : la première racine prend tout le numérateur et le "/" signifgie la barre de fraction 🙂 MERCI BEAUCOUP


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Quelques pistes pour démarrer ton travail,

    Vu que f a pour période 2∏, tu peux travailler sur un intervalle d'amplitude 2∏ ( [0,2∏] par exemple, et compléter ensuite par périodicité).

    Deux conditions d'existence pour f :

    condition 1 (à cause de la racine carrée):

    4sin2x+2(21)sinx204sin^2x+2(\sqrt 2-1)\sin x-\sqrt2 \ge 0

    condition 2 (à cause du dénominateur):

    sin(xπ6)0\sin(x-\frac{\pi}{6}) \ne 0

    Je te conseille d'étudier la condition 1 en premier.

    Pose sinx=X

    Tu dois ainsi résoudre :

    4x2+2(21)x204x^2+2(\sqrt 2-1)x-\sqrt2 \ge 0

    Inéquation du second degré d'inconnue X à résoudre.

    Lorsque tu auras les solutions en X, tu en déduiras les solutions associées en x

    Reposte si besoin.



  • Ah oui je vois merci, est-ce que je peux utiliser Δ' pour factoriser le numérateur ? Ainsi je trouverai les zéros qui l'annule ?


  • Modérateurs

    Oui, c'est cela qu'il faut faire.

    Tu peux nous donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification.



  • Bonsoir ! Alors voilà j'ai trouver le discriminant qui est ( √2 +1)² . Je l'ai laissé sur cette forme pour avoir un carré parfait. Ensuite, j'ai trouver les zéros qui sont 1/2 et -√2 /2. Ensuite j'ai dressé le tableau de signe, j'ai pris ma calculatrice pour faire ArcSin ( 1/2) et ArcSin de (-√2 /2 ) j'ai trouver -45 et 30, je les ai placé sur le cercle trigonométrique et j'ai donc trouvé comme domaine
    Domf : [ π/6 +2π ; 5π/6 +2π ] U [ 5π/4 +2π ; 7π/4 +2π ]

    Merci de consacrer votre temps à nous aider 🙂


  • Modérateurs

    Il me semble que tu as étudié seulementla condition 1* donc tu ne peux pas encore conclure sur l'ensemble de définition.*

    Pour la condition 1, ta démarche est bonne, mais fait attention à la période.

    Si tu travailles sur [0,2∏], la condition 1 te donne :

    [ π/6 ; 5π/6] U [ 5π/4; 7π/4]

    Sur R , cette condition te donne

    [ π/6 +2kπ ; 5π/6 +2kπ ] U [ 5π/4 +2kπ ; 7π/4 +2kπ ] avec k ∈ Z

    Si tu ne l'as pas fait, étudie la condition 2 et tire la conclusion sur l'ensemble de définition.



  • Bonsoir, alors voilà j'arrive pas à déterminer le domaine. J'ai étudier la condition 2, j'ai trouver que x ≠ π/6 + 2kπ mais x doit aussi être différent de 5π/6


  • Modérateurs

    Sur R , pour sin(xπ6)=0,\sin(x-\frac{\pi}{6})=0, tu dois trouver :

    x=π6+kπx=\frac{\pi}{6}+k\pi , avec k ∈ Z

    Sir [0, 2∏], cela donne

    $\text{ \frac{\pi}{6} et \frac{7\pi}{6}$

    Il te reste à voir si ces deux valeurs interdites appartiennent ( ou pas ) à l'ensemble satisfaisant à la condition 1 sur [0,2∏] c'est-à-dire à

    $\text{[ \frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}] u [ \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$

    Tu pourras ensuite tirer la conclusion demandée sur [0,2∏] puis sur R.



  • Ah excusez-moi mais j'ai pas très bien compris pourquoi on doit faire +kπ ? 😕


  • Modérateurs

    Le sinus d'un angle est nul si et seulement si l'angle est nul ou plat
    (utilise le cercle trigonométrique pour t'éclairer).

    Les mesures de l'angle nul sont 0+2K∏=2K∏ avec K ∈ Z

    Les mesures de l'angle plat sont ∏+2K∏=(2K+1)∏ avec K ∈ Z

    Ces deux types s'expriment en une seule écriture0+k∏, avec k ∈ Z

    Pour k pair (k=2K), on obtient les mesures de l'angle nul
    Pour k impair (k=2K+1), on obtient les mesures de l'angle plat

    En bref,

    sinX=0 <=> X=0+k∏ avec k ∈ Z

    On peut bien sûr écrire simplement :

    sinX=0 <=> X=k∏ avec k ∈ Z



  • Ah donc si je comprends bien, il faut faire sin(x - π/6) = 0 .
    On a donc : x = π/6 + kπ car sin(x -π/6) =0 donc angle plat ou nul c'est bien ça ?


  • Modérateurs

    Oui, c'est bien ça.



  • Ah d'accord merci! Et j'en ai 4 autres à faire comme ça, dois-je faire un nouveau topic pour les autres ou pourrais-je vous montrer la démarche que j'ai faite ici ?


  • Modérateurs

    Il faut ouvrir une discussion par exercice, mais,tu n'as pas fini l'exercice demandé !

    Tu as trouvé les valeurs de x convenant à la condition 1, les valeurs de x convenant à la condition 2, maisl'ensemble de définition Df est l'ensemble des valeurs de x convenant aux deux conditions à la fois.



  • Ah bah c'es tout simplement : Domf = ] π/6 + 2kπ ; 5π/6 +2π ] u [ 5π/4 +2kπ ; 7π/4 +2kπ ]

    Merci beaucoup pour votre aide, c'est vraiment gentil de votre part 🙂


  • Modérateurs

    Oui.
    Plus précisément, l'ensemble de définition est est l'union des tous les ensembles de la forme ] π/6+2kπ ; 5π/6+2kπ ] ∪ [ 5π/4+2kπ ; 7π/4+2kπ ] avec k ∈ Z



  • Ah merci je comprends mieux 🙂 . Maintenant ce que je vais faire c'est de faire les autres exercices qui sont avec cosinus/tangente et cotangente et je mettrai le correctif sur un nouveau topic ?


  • Modérateurs

    Oui, il faut mettre un seul exercice par topic.

    Bon travail !


 

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