Calculer la somme des cubes d’entiers consécutifs (SUITES)

Bonjour,
Je suis bloqué dès la première question sur ce dm :
On considère une suite (Un) définie pour tout entier naturel n, n≥1, par Un =n³ et la somme de ses premiers termes Sn=U1+...+Un = ∑ (k=1 en bas) (n en haut) k³

On note Vn la somme des n premiers entiers naturels, non nuls soit Vn=1+...+n=∑ (k=1 en bas) (n en haut) k.

1- Avec un tableur ou une calculatrice (graph 35+) calculer les valeurs de Vn et de Sn pour 1≤n≤20.

J'ai trouvé S1=1 S2=9 car j'ai fais afficher les termes et je les additionne manuellement est il possible de le faire directement ?
De même pour V1= 1 V2=3 est il possible de le faire directement ?

2-Exprimer Vn en fonction de n

Je ne sais pas comment trouver. J'ai V1=1, V2=3, V3=6, V4=10, V5=15 V6=21

b) En déduire une conjecture sur la formue donnant la valeur de Sn en fonction de n

c) Démontrer le résultat conjecturé par récurrence

Merci d'avance

Bonjour,
Avec la calculatrice ou le tableur, tu trouves les valeurs demandées.
Celles que tu donnes sont correctes.

Pour la question 2, une méthode simple consiste à calculer 2.Vn sous la forme :
[1+2+3+ ... + (n-2)+(n-1)+n] + [n+(n-1)+(n-2) + ... + 3+2+1] et de regrouper astucieusement les termes.

Merci de votre réponse.

J'ai finalement réussi a aller jusqu'à la dernière question
Mais je n'arrive pas a continuer au niveau de l'hérédité que dois t-on supposer vrai Vn ou Sn ou autre chose ?

Ça dépend.
As-tu démontré la formule permettant de calculer Vn ?
Que trouves-tu ?

Quelle est ta conjecture concernant Sn ?

Vn = n*((n+1)/2)

Sn = n²*((n+1)²/4)

?

Bon.
Tu as vérifié que ta conjecture (pour Sn) est vraie pour n=1 (pas de difficulté).
Tu n'as pas besoin (ici) de cette débauche de parenthèses : Sn = n²(n+1)²/4
Tu dois passer à $S_{n+1}$
$S_{n+1}$ = $S_n$ + ??

C'est la que je bloque, nous avons une rédaction a mettre
alors j'ai mis :
I : S1=1
Donc S1 est vrai

H: Supposons que Sn est vrai pour un certain n pour ce n on a alors
Sn = n²*(n+1)²/4

Sn+1= (n+1)²*(n+2)²/4 (Hypothèse de récurrence)
et la lorsque je développe je ne trouve pas pareil

Citation
Supposons que Sn est vrai pour un certain n pour ce n on a alorsTon hypothèse de récurrence est mal énoncée : on suppose que la formule est vraie jusqu'à l'ordre n.

Citation
Sn+1= (n+1)²*(n+2)²/4 (Hypothèse de récurrence)
Non : l'hypothèse de récurrence est Sn = n²*(n+1)²/4
Ensuite, pour l'hérédité, tu dois démontrer qu'on a bien $S_{n+1}$ = (n+1)²*(n+2)²/4
Pour cela, je t'avais donné le début du calcul :
$S_{n+1}$ = $S_n$ + ??

Ah d'accord je comprends mieux cette partie

Je ne vois pas par contre le calcul..

Mais on peux dire que Sn = Vn ² non cela irait plus vite ?

Non : il faut de toute façon effectuer les calculs pour le démontrer.
Écrire Sn = Vn² ou Sn = n²*(n+1)²/4 c'est la même chose.
Mais ce calcul ?
Je t'aide à nouveau :
$S_{n+1}$ = $S_n$ + ??
Réponse : $S_{n+1}$ = $S_n$ +(n+1)³
Donc $S_{n+1}$ = n²*(n+1)²/4 + (n+1)³
Tu réduis au même dénominateur, tu factorises, tu observes, et le miracle se produira.

Oh oui !

Je trouve Sn+1= (n+1)²* (n²/4 + n+1)
Donc c'est égal a ce qu'il faut réussir a montrer : Sn+1= (n+1)²*(n+2)²/4

Mais comment avez vous trouvé que Sn+1= Sn + (n+1)³

C'est la définition de la suite.
Sn = 1³+2³+...+n³
Et si on va un rang plus loin :
$S_{n+1}$ = 1³+2³+...+n³ + (n+1)³

Oh d'accord ! Merci beaucoup pour l'aide que vous m'avez apporté !!

De rien.
Bon courage.