Conjecturer la nature d'une suite et la prouver


  • L

    Bonjour , je bloque sur un exercice et j'arrive même pas à voir par ou commencer voila merci ^^
    L'exercice:
    On considère les suites (Un) et (Vn) définies par U0=2 et pour tout entier naturel n :
    Un+1=(5Un-3)/(Un+1) et Vn=(Un-3)/Un-1)

    la première partie je l'est fait seul c'était un algorithme a faire pour trouver les 4 premiers termes des suites on trouve donc U0=2;U1=(7/3);U2=(13/5);U3=(25/9) et V0=(-1);V1=(-0.5);V2=(-1/4);V3=(-1/8)

    puit il faut ensuite conjecturer la nature de la suites Vn : Vn est une suite géométrique soit Vn=(-1)x(1/2)^n

    c'est la que j'aimerais avoir votre aide : en déduire que pour tout réel de IN , Un=(((1/2)^n)+3)/(((1/2)^n)+1)
    voila voila merci ^^


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pour débloquer ta dernière question :

    vn=un−3un−1v_n=\frac{u_n-3}{u_n-1}vn=un1un3

    vn(un−1)=un−3v_n(u_n-1)=u_n-3vn(un1)=un3

    vnun−vn=un−3v_nu_n-v_n=u_n-3vnunvn=un3

    vnun−un=vn−3v_nu_n-u_n=v_n-3vnunun=vn3

    un(vn−1)=vn−3u_n(v_n-1)=v_n-3un(vn1)=vn3

    un=vn−3un−1u_n=\frac{v_n-3}{u_n-1}un=un1vn3

    Tu remplaces VnV_nVn par l'expression que tu as trouvée et tu dois obtenir le résultat souhaité.


  • L

    Merci Merci beaucoup , j'aurais juste une quetion pour bien comprendre quand on a :

    ((-1)x((1/2)^n)-3)/((-1)x((1/2)^n)-1)

    le facteur (-1) ne s'applique que sur les constantes -3 et -1 et pas au (1/2)^n ?

    merci en tout cas je me suis rendue compte que j’avais pas penser a factorise VnUn-Un...


  • mtschoon

    Si j'ai compris ta dernière question ...Tu as trouvé :

    Vn=(-1)x(1/2)^n

    Donc le (-1) s'applique à (1/2)^n

    Tu dois donc trouver :

    un=−(12)n−3−(12)n−1u_n=\frac{-(\frac{1}{2})^n-3}{-(\frac{1}{2})^n-1}un=(21)n1(21)n3

    En changeant les signes du numérateur et du dénominateur (c'est à dire en multipliant numérateur et dénominateur par (-1)) tu dois obtenir le résultat final.


  • L

    Du coup si je multiplie par (-1) pour garder l'égalité vrai je suis obliger de multiplier Un par -1 aussi du coup sa fait :

    -Un=((1/2)^n)+3/((1/2)^n)+1
    ce qui est faux , non ?


  • mtschoon

    Effectivement, ce que tu dis est faux.

    Il ne faut pas multiplier Un par -1 car ce ne sont pas les deux membres de l'égalité que l'on multiplie par -1.

    On transforme seulement l'écriture du membre de droite.

    Principe : il y a une simplification par (-1) de la fraction écrite à droite.

    (−1)×a(−1)×b=ab\frac{(-1)\times a}{(-1)\times b}=\frac{a}{b}(1)×b(1)×a=ba

    Un exemple concret pour comprendre ,

    (−1)×3(−1)×2=−3−2=32\frac{(-1)\times 3}{(-1)\times 2}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}(1)×2(1)×3=23=23


  • L

    ok j'ai compris ^^ merci pour l'aide et l'explication


  • mtschoon

    De rien.

    A+


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