Conjecturer la nature d'une suite et la prouver

Bonjour , je bloque sur un exercice et j'arrive même pas à voir par ou commencer voila merci ^^
L'exercice:
On considère les suites (Un) et (Vn) définies par U0=2 et pour tout entier naturel n :
Un+1=(5Un-3)/(Un+1) et Vn=(Un-3)/Un-1)

la première partie je l'est fait seul c'était un algorithme a faire pour trouver les 4 premiers termes des suites on trouve donc U0=2;U1=(7/3);U2=(13/5);U3=(25/9) et V0=(-1);V1=(-0.5);V2=(-1/4);V3=(-1/8)

puit il faut ensuite conjecturer la nature de la suites Vn : Vn est une suite géométrique soit Vn=(-1)x(1/2)^n

c'est la que j'aimerais avoir votre aide : en déduire que pour tout réel de IN , Un=(((1/2)^n)+3)/(((1/2)^n)+1)
voila voila merci ^^

Bonjour,

Pour débloquer ta dernière question :

$vn=un−3un−1v_n=\frac{u_n-3}{u_n-1}$

$v_n(u_n-1)=u_n-3$

$v_nu_n-v_n=u_n-3$

$v_nu_n-u_n=v_n-3$

$u_n(v_n-1)=v_n-3$

$un=vn−3un−1u_n=\frac{v_n-3}{u_n-1}$

Tu remplaces $V_n$ par l'expression que tu as trouvée et tu dois obtenir le résultat souhaité.

Merci Merci beaucoup , j'aurais juste une quetion pour bien comprendre quand on a :

((-1)x((1/2)^n)-3)/((-1)x((1/2)^n)-1)

le facteur (-1) ne s'applique que sur les constantes -3 et -1 et pas au (1/2)^n ?

merci en tout cas je me suis rendue compte que j’avais pas penser a factorise VnUn-Un...

Si j'ai compris ta dernière question ...Tu as trouvé :

Vn=(-1)x(1/2)^n

Donc le (-1) s'applique à (1/2)^n

Tu dois donc trouver :

$un=−(12)n−3−(12)n−1u_n=\frac{-(\frac{1}{2})^n-3}{-(\frac{1}{2})^n-1}$

En changeant les signes du numérateur et du dénominateur (c'est à dire en multipliant numérateur et dénominateur par (-1)) tu dois obtenir le résultat final.

Du coup si je multiplie par (-1) pour garder l'égalité vrai je suis obliger de multiplier Un par -1 aussi du coup sa fait :

-Un=((1/2)^n)+3/((1/2)^n)+1
ce qui est faux , non ?

Effectivement, ce que tu dis est faux.

Il ne faut pas multiplier Un par -1 car ce ne sont pas les deux membres de l'égalité que l'on multiplie par -1.

On transforme seulement l'écriture du membre de droite.

Principe : il y a une simplification par (-1) de la fraction écrite à droite.

$(−1)×a(−1)×b=ab\frac{(-1)\times a}{(-1)\times b}=\frac{a}{b}$

Un exemple concret pour comprendre ,

$(−1)×3(−1)×2=−3−2=32\frac{(-1)\times 3}{(-1)\times 2}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$

ok j'ai compris ^^ merci pour l'aide et l'explication

De rien.

A+