Exo logique et ensemble

[Veitchii]

Bonjour,

J'ai un exo à faire mais je ne sais comment commencer.
Voici l'énoncé :

Soit X un ensemble et $\mu$ une application de P(X) dans ℜ${}^{+}$ vérifiant :

$E_1$ : $\mu$(∅) = 0
$E_2$ : $\forall$A,B∈P(X), A ⊂ B ⇒ $\mu$(A) ≤ $\mu$(B)
$E_3$ : $\forall$A,B∈P(X), $\mu$(A∪B) ≤ $\mu$(A) + $\mu$(B)

De plus, pour tout A de P(X), on note A barre le complémentaire de A dans X. Enfin l'ensemble $\beta$ désignera :

$\beta$ = {A ⊂ X / $\forall$B∈P(X), $\mu$(A∩B)+$\mu$(A barre ∩ B) = $\mu$(B)}

Partie I. Généralités

1. Montrer que ∅ et X sont dans $\beta$

[mtschoon]

Bonjour,

Bizarre...bizarre...

Attends d'autres avis.

[mathtous]

Bonjour à tous deux.
Ce qui me parait bizarre, c'est la définition de A dans laquelle apparaît la lettre A qui n'est plus libre.
On pourrait (peut-être définir A comme :
A = {M⊂X/∀B∈P(X) : μ(M∩B)+μ(M barre ∩ B) = μ(B)}
On obtient alors ∅∈A et X∈A (sauf erreur de ma part...)

C'est M (et non B) que je remplace par ∅, puis par X.
Mais peut-être ma "définition" de A est-elle différente de celle de l'énoncé ?

Mtschoon, je te laisse poursuivre car je ne puis rester plus longtemps aujourd'hui.

[mtschoon]

Bonjour Mathtous (et bon dimanche)

Je ne suis guère libre aussi...

Cet énoncé est très bizarre...comme tu dis, définir A en fonction de A laisse perplexe...

Peut-être que Veitchii a mal recopié l'énoncé...

[Veitchii]

Bonjour à tout les deux. Merci de vos réponses.

Après avoir relu plusieurs fois l'énoncé... J'ai remarqué les A se ressemblent, ce n'est pas le même A. Je corrige

J'ai mis bêta : $\beta$ à la place du A en début de définition.

[Veitchii]

Et donc?

[mtschoon]

Avecla modification de l'énoncé que tu as donnée, cela semble fonctionner

Pour A=∅

$\mu (\varnothing \cap b)+\mu (\overline{\varnothing }\cap b)=\mu (\varnothing )+\mu (x\cap b)=\mu (\varnothing )+\mu (b)=0+\mu (b)=\mu (b)$

Donc ∅ ∈ β

PourA=X, tu pratiques pareil et tu dois trouver que X ∈ β

[Veitchii]

Ok ça marche ! Merci. Par contre, pourriez-vous m'expliquer les différentes étapes des calculs parce que je ne vois pas trop... Et pareil, qd je remplace A = X je bloque au début :

$\mu (x\cap b)+\mu (xbarre\cap b)$

Voilà.

[mtschoon]

Idées :

Le complémentaire de X est ∅

Le complémentaire de ∅ est X

L'intersection de ∅ avec n'importe quelle partie B est ∅

L'intersection de X avec n'importe quelle partie B est B

Tu dois utiliser la propriété $E_1$ de l'application μ

Avec cela, tu dois pouvoir faire la question 1

[Veitchii]

Avec des amies, on s'était dit pourquoi ne pas avoir remplacé B par l'ensemble vide ?

Je ne comprends pas.

[mtschoon]

Relis la définition de l'ensemble β que tu as donnée et réfléchis.

C'est cette définition que tu sembles ne pas comprendre.

Pour prouver que ∅ appartient à β, c'est A qu'il faut remplacer par ∅( non B, vu que l'égalité à prouver doit être vraie pour toute partie B de X)

Pour prouver que X appartient à β, c'est A qu'il faut remplacer par X( non B, vu que l'égalité à prouver doit être vraie pour toute partie B de X)

[Veitchii]

D'accord. Ça c'est OK.

Donc si je fais avec toutes les idées que vous m'avez cité là haut j'ai ça normalement :

Pour A = X

$\mu (x\cap b)+\mu (xbarre\cap b)=\mu (b)+\mu (\oslash \cap b)=\mu (b)+\mu (\oslash )=\mu (b)+0=\mu (b)$

Là normalement ça semble correcte.

[mtschoon]

Tout à fait correcte.

Cette égalité que tu viens de prouvée est vraie pour toute partie B de X.

Donc X appartient à β

[Veitchii]

Parfait, merci.

2. Montrer que Bêta est stable par complémentaire.

Je vois à peu pres ce qu'il faut faire, par contre je ne comprends pas le terme de stable ici. Auriez-vous une idée?

J'avais pensé à faire le complémentaire de bêta pour ainsi tomber sur Mu(B) mais je sais pas...

[mtschoon]

Non pour le complémentaire de β, cela n'a guère de sens.

β stable par complémentarité signifie que si une partie A appartient à β (c'est à dire respecte la définition donnée), sa partie complémentaireA barre appartient aussi à β (tu dois prouver que A barre respecte aussi la définition)

[Veitchii]

Ok, ça marche j'ai trouvé.

Partie II. Stabilité par intersection. Soient A et B dans bêta et D dans P(X)

1. Montrer que (A∩B)∪(Abarre∩B)∪(Abarre∩Bbarre) = A∩B barre

ça c'est OK.

2. Montrer que $\mu (a\cap bbarre\cap d)+\mu (abarre\cap b\cap d)+\mu (abarre\cap bbarre\cap d)+\mu (a\cap b\cap d)=\mu (d)$

Pour cette question j'avais pensé à remplacer les éléments communs de l'égalité càd Bbarre∩D avec l'autre Bbarre∩D le nommer C, et le B∩D avec l'autre B∩D pour ainsi les remplacer par F pour ainsi avoir :

$\mu (a\cap c)+\mu (abarre\cap f)+\mu (abarre\cap c)+\mu (a\cap f)=\mu (d)$

C'est bon?

[mtschoon]

C'est une bonne idée, mais il faut continuer à transformer le membre de gauche pour arriver à μ(D)

[Veitchii]

Lequel?

Mu(A∩C) ?

[mtschoon]

A toi de voir ! C'est à toi de faire l'exercice...

Je te suggère de regrouper le 1er avec le 3ème terme, ainsi que le second avec le 4ème

[Veitchii]

C'est déjà fait cela. Mais après à partir de sa, je ne sais comment continuer

$\mu (a\cap c)+\mu (abarre\cap c)+\mu (a\cap f)+\mu (abarre\cap f)$

[kanial]

Salut Veitchii,

Utilise la définition de $\beta$ pour A (tu sais que : $a\in \beta$) d'une part pour la partie avec C et d'autre part pour la partie avec F.

Bonne soirée

[Veitchii]

Oui, je vois que le début ressemble beaucoup à la définition de Bêta

$\mu (a\cap c)+\mu (abarre\cap c)=\mu (c)$

$\mu (a\cap f)+\mu (abarre\cap f)=\mu (f)$

J'avais pensé à faire cela, mais je pense pas que ce soit ça étant donné qu'on doit arriver sur $\mu (d)$

[kanial]

Si c'est bien ça, ensuite tu peux remplacer C et F par leurs vraies valeurs (qui contiennent D).

[Veitchii]

J'arrive pas à voir ou est-ce que vous voulez en venir par "leurs vraies valeurs".

Après ce que j'ai écris précédemment je ne sais comment poursuivre.

[kanial]

Tu as toi-même défini C et F dans un de tes posts précédents en fonction de B et D, il faut reprendre ces valeurs dans les expressions de $\mu$.

[Veitchii]

Mais si je remplace par leurs vraies valeurs je n'aurai rien montré, et au final je tourne en rond...

$\mu (a\cap c)+\mu (abarre\cap c)=\mu (a\cap bbarre\cap d)+\mu (abarre\cap b\cap d)=\mu (d)$

C'est cela que vous voulez que j'note... Si oui, je ne comprends pas pourquoi.

[mtschoon]

Tu as dû t'égarer dans la fin de la démarche.

Je reprends :

Tu as trouvé que le membre de gauche de l'égalité à démontrer valait $\mu (c)+\mu (f)$

En remplaçant C et de F par leurs expressions de départ, ce membre de gauche vaut donc :

$\mu (\overline{b}\cap d)+\mu (b\cap d)=..........$

Si tu comprends ce qu'il faut mettre à la place des ........(en utilisant encore une fois la propriété de l'énoncé qui définit l'apllication μ), tu as fini la démonstration.

C'est peut-être ce dernier maillon qui t'a échappé.

[mtschoon]

En relisant les égalités que tu as écrites sur ta dernière question, j'ai un petit doute sur ta façon de rédiger...

J'espère que je me trompe, mais ne partirais-tu pas de l'égalité à démontrer ???

Si c'est le cas, tu changes.

En appelant, par exemple, MG le membre de gauche, tu poses :

$mg=\mu(a\cap \overline{b}\cap d)+\mu( \overline{a}\cap b\cap d)+\mu(\overline{a}\cap \overline{b}\cap d)+\mu(a\cap b\cap d) \$

Tu fais les transformations nécessaires sur MG :

$mg=...mg=...mg=...etc$

Et à la dernière transformation, tu dois trouver :

$mg=\mu (d)$

Tu peux alors mettre en conclusion (seulement en conclusion):

$\tex\fbox{donc \ \ \ \mu(a\cap \overline{b}\cap d)+\mu( \overline{a}\cap b \cap d)+\mu(\overline{a} \cap \overline{b}\cap d)+\mu(a\cap b\cap d)=\mu(d)} \$

[Veitchii]

C'est comme vous dite se maillon qui me manque pour finir. Car après avoir remplacé et ordonner je ne sais pas comment je pourrais poursuivre et trouver Mu(D) à la fin.

Comment à partir des transformations que je fais je puisse tomber à la fin du Mu(D) c'est ça que j'arrive pas à voir et faire du coup.

[mtschoon]

Pour le "dernier maillon", tu en es arrivée à :

$mg=\mu (b\cap d)+\mu (\overline{b}\cap d)$

Il te suffit d'appliquer la définition de l'application μ en changeant les notations

Tu sais que β est l'ensemble des parties A de X telles que pour tout B de X :
$\mu (a\cap b)+\mu (\overline{a}\cap b)=\mu (b)$

Tu donnant à B la valeur D :

$\mu (a\cap d)+\mu (\overline{a}\cap d)=\mu (d)$

Tu donnes à A la valeur B :

$\mu (b\cap d)+\mu (\overline{b}\cap d)=\mu (d)$

Donc :

$mg=\mu (d)$

[Veitchii]

OK, merci. Donc si on faisait un petit récap, je dois commencer par dire quoi et conclure par quoi... Excusez-moi je suis un peu perdu là.

[mtschoon]

Si tu reprends ce qui a été écrit, dans l'ordre chronologique, je pense que tu dois y arriver.

Bien sûr il ne faut pas partir de l'égalité à démontrer, pars du membre de gauche.

Tu poses, par exemple
$mg=\mu (a\cap \overline{b}\cap d)+\mu (\overline{a}\cap b\cap d)+\mu (\overline{a}\cap \overline{b}\cap d)+\mu (a\cap b\cap d)$

Tu indiques tes notations C=... et F=...

Tu écris MG avec ces notations C et F

Tu regroupes les termes pour trouver

$mg=\mu (c)+\mu (f)$

Tu retournes aux notations de l'énoncé :

$mg=\mu (b\cap d)+\mu (\overline{b}\cap d)$

D'où

$mg=\mu (d)$

CQFD

[Veitchii]

Donc voilà ce que j'ai écris :

On pose MG = $\mu (a\cap bbarre\cap d)+\mu (a\cap b\cap d)+\mu (abarre\cap bbarre\cap d)+\mu \mu (a\cap b\cap d)$

On pose ensuite, C = Bbarre∩D et F = B∩D

On obtient : $mg=\mu (a\cap c)+\mu (abarre\cap f)+\mu (abarre\cap c)+\mu (a\cap f)$

J'ordonne les termes : $mg=\mu (a\cap c)+\mu (abarre\cap c)+\mu (a\cap f)+\mu (abarre\cap f)$
$mg=\mu (c)+\mu (f)$
$mg=\mu (b\cap d)+\mu (bbarre\cap d)$
$mg=\mu (d)$

Ainsi, $\mu (d)=[tex]\mu (a\cap bbarre\cap d)+\mu (a\cap b\cap d)+\mu (abarre\cap bbarre\cap d)+\mu \mu (a\cap b\cap d)$[/tex]

Voilà. Correcte?

[mtschoon]

La structure est correcte.

Evidemment, tout dépend du niveau de rigueur dans la rédaction qui est demandé.

Par exemple, pour justifier "On obtient $mg=\mu (a\cap c)+....$, ce serait bien de préciser que c'est la propriété d'associativité de la relation ∩ qui est utilisée

Pour justifier "J'ordonne les termes ....", ce serait bien de préciser que c'est la propriété de commutativité de la loi + qui est utilisée

Pour justifier$mg=\mu (c)+\mu (f)$ il faudrait expliquer pourquoi;idem pour le $mg=\mu (d)$ de l'avant dernière ligne

En bref, essaie de fignoler les explications.

Bien sûr, c'est ton professeur qui doit te corriger, pas moi !

Bon travail.

[Veitchii]

Super merci beaucoup !

Il me reste avant tout deux autres questions.

3. En déduire que : $\mu (a\cap b\cap d)+\mu (abarre\cap bbarre\cap d)$ ≤ $\mu (d)$

J'ai pas d'idée.

(Courage me reste 2 questions en comptant celle-ci...)

[mtschoon]

Vu que l'on te dire "En déduire" et que μ est une application de P(X) dans ℜ+ , avec un peu de réflexion, tu vas trouver.

[Veitchii]

Ben on a pas grand chose concernant mu(D). Et avec R+ on sait que c'est supérieur ou égale à zéro. On a les propositions E2, E3 mais ça m'aide pas.

[mtschoon]

Pense d'abord àEn déduire, ce qui veut direutiliser l'égalité qui vient d'être démontrée.

Isole$\mu (\overline{a}\cap \overline{b}\cap d)+\mu (a\cap b\cap d)$ de l'égalité précédemment démontrée.

$\mu (\overline{a}\cap \overline{b}\cap d)+\mu (a\cap b\cap d)=\mu (d)-[\mu (a\cap \overline{b}\cap d)+\mu (\overline{a}\cap b\cap d)]$

μ est une application de P(X) dansℜ+ donc ..................................