Polynômes du second degré, forme canonique


  • C

    Bonsoir,

    J'ai 2 exercices de maths et j'ai un problème pour le 1er, je voudrai aussi savoir si j'ai bien juste au 2ème.

    1er exercice :

    F est la fonction polynôme définie sur ℜ par :
    f(x)= -2x²+3x+5

    1.a) Qu'elle est la forme canonique de f(x) ?

    Ma réponse :

    f(x)= -2x²+3x+5

    Alpha (je n'ai pas trouvé le signe) = -b/2a = -3/-4 = 3/4

    Bêta (pas trouvé de signe non plus) = f(3/4) = -2x(3/4)² + 3x(3/4) + 5
    = -9/8 + 18/8 + 40/8
    = 49/8
    f(x)= -2(x-3/4)²+49/8

    Est-ce juste ?

    Ensuite on me demande :
    b) Déduisez en que pour tout nombre x, f(x)≤49/8.

    1. Déduisez de la question précédente une forme factorisée de f(x).

    C'est pour ces questions que je bloque et que j'ai besoin d'aide 😕 .

    Ensuite le 2ème exercice :

    On donne le trinôme :
    f(x)= (x²-9) -2(x-3)(x+2)
    1.a) Développez et réduisez f(x)
    b) Quelle est sa forme canonique ?

    2.a) Factorisez f(x).
    b) Résolvez l'équation f(x)=0

    Mes réponses :

    1
    a) f(x)= (x²-9) -2(x-3)(x+2)
    f(x)=(x²-9) -2(x²+2x-3x-6)
    = (x²-9) -2x² -4x +6x + 12
    = -x² + 2 + 3

    b) f(x)= -x² +2x +3
    Alpha = -b/2a = -2/-2 = 1
    Bêta = f(1)= (-1)² +2 +3 = 6
    f(x)= -(x-1)² +6

    a) f(x)= (x²-9)-2(x-3)(x+2)
    =(x+3)(x-3)-2(x-3)(x+2)
    =(x-3) [(x+3)-2(x+2)]
    = (x-3) (x+3-2x-4)
    = (x-3) (-x-1)

    b) f(x)= 0
    x-3= 0 ou -x-1= 0
    x= 3 ou x= 1

    Voilà est ce que c'est juste ?

    Merci d'avance pour l'aide 😉


  • mtschoon

    Bonjour,

    Ici, il faut ouvrir une discussion par exercice.

    Je regarde le premier exercice ( pour le second, ouvre une autre discussion)

    La forme canonique de f(x) que tu as trouvée est bonne ( je ne comprends pas ce que tu veux dire par "pas trouvé le signe"...)

    Conséquence directe :

    -2(x-3/4)² ≤ 0 donc nécessairement f(x) ≤ 49/8

    Pour la factorisation : mets -2 en facteur

    f(x)=2[(x−34)2−4916]f(x)=2[(x-\frac{3}{4})^2-\frac{49}{16}]f(x)=2[(x43)21649]

    f(x)=2[(x−34)2−(74)2]f(x)=2[(x-\frac{3}{4})^2-(\frac{7}{4})^2 ]f(x)=2[(x43)2(47)2]

    Il te reste à factoriser la quantité entre crochets avec l'identité remarquable
    a²-b²=(a-b)(a+b)


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