conjecturer puis demontrer une suite

[fred77]

bonjour ,voici mon probleme
Un+1=Un: (Un) + 2 on sait que U0=1
calculez suous forme fractionnaire jusqu'a U6 on obtient 1/3 ,1/7,1/15 ,1/31 ,1/63 et U6= 1/127
le lien entre les denominateurs de 2 termes consecutifs peut permettre d'ecrire Un en fonction de n
je remarque qu 7=23 + 1 ;15=27+1 et ainsi de suite
je remarque egalement que la difference entre les denominateurs successifs est :2 ; 4 ;8 ;16 ;32 ;64
mais je n'arrive pas a ecrire Un en fonction de n......

[mtschoon]

Bonjour,

Piste,

J'appelle D le dénominateur

$d(u_0)=1d(u_1)-d(u_0)=2^{1}d(u_2)-d(u_1)=2^{2}d(u_3)-d(u_2)=2^{3}etc$

donc

$d(u_1)=1+1^{1}d(u_2)=1+2^1+2^{2}d(u_3)=1+2^1+2^2+2^{3}etc$

Tu peux conjecturer que

$d(u_n)=1+2^1+2^2+2^3+...+2^n$

Je te laisse calculer cette somme (somme des termes d'une suite géométrique)

D'où la conjecture sur $U_n$:

$u_n=\frac{1}{1+2^1+2^2+2^3+...+2^n}$

Bien sûr, tu remplaces la dénominateur par l'expression réduite que tu as trouvée.

[fred77]

merci beaucoup pour votre réponse

[mtschoon]

Si tu veux vérifier ta réponse, je t'indique ce que tu dois trouver comme conjecture :

$u_n=\frac{1}{2^{n+1}-1}$

J'image qu'ensuite, il va falloir que tu la démontres, cette conjecture.

[fred77]

j ai trouvé la bonne reponse pour Un,merci
maintenant j'essaye de demontrer cette conjecture, et la j'ai un soucis parce que le "k" est dans la partie denominateur......je n'arrive pas a s'implifier.....

[fred77]

1 /{(2+........2k+2(k+1))-1}

[mtschoon]

Très bizarre tes affirmations...

Je ne suis pas sûre que tu aies trouvé la bonne réponse pour la conjecture de Un, c'est à dire$\frac{1}{2^{n+1}-1}$

Quand tu l'auras vraiment trouvé, fais une démonstration par récurrence .

[fred77]

pour Un j ai bien trouve $\frac{1}{2(n+1)-1}$
j'ai une hypothese de recurrence qui fait 1/( 2^0+2^1+ ...+2^k)=1/ (-1+2^(k+1))
soit k+1=1 / (2^0+^2^1+...+2^(k+1) = 1/(-1+2^(k+1)+1

donc on se sert de l'hypothèse de récurrence :

1/(2^0+2^1+...+2^k+2^(k+1) ) = 1/-1+2^k+1+ 2^(k+1) ( on rajoute le 2^(k+1) à la l'hypothèse.
On veut arriver à 1/(-1+2^k+2) ,mais je n'y arrive pas

[fred77]

je pense avoir trouvé: -1 +2 (k+1) +2 (k+1)=-1+2*2(k+1)=-1+2(k+2)
on a donc1/-1+2(k+2)

[mtschoon]

Je ne comprends pas très bien tes calculs...

Piste pour la démonstration par récurrence de :

Pour tout n de N :

$\fbox{u_n=\frac{1}{2^{n+1}-1}}$

Initialisation pour n=0

Par hypothèse $u_0=1$

Il te reste à vérifier que

$\frac{1}{2^{0+1}-1}=0$

donc :

$u_0=\frac{1}{2^{0+1}-1}$

Tansmission (ou hérédité )

A un ordre k de N, on suppose que :

$\fbox{u_k=\frac{1}{2^{k+1}-1}}$

Il faut que tu démontres que la propriété est vraie à l'ordre (k+1), c'est à dire que :

$\fbox{u_{k+1}=\frac{1}{2^{k+2}-1}}$

Pour cela, tu utilises l'hypothèse de l'énoncé :

$u_{k+1}=\frac{u_k}{u_k+2}$

Tu remplaces $U_k$ par l'expression$\frac{1}{2^{k+1}-1}$

Je te laisse transformer cela pour obtenir :

$u_{k+1}=\frac{1}{2^{k+2}-1}$

[fred77]

d accord
merci beaucoup pour votre aide

[mtschoon]

De rien !