conjecturer puis demontrer une suite



  • bonjour ,voici mon probleme
    Un+1=Un: (Un) + 2 on sait que U0=1
    calculez suous forme fractionnaire jusqu'a U6 on obtient 1/3 ,1/7,1/15 ,1/31 ,1/63 et U6= 1/127
    le lien entre les denominateurs de 2 termes consecutifs peut permettre d'ecrire Un en fonction de n
    je remarque qu 7=23 + 1 ;15=27+1 et ainsi de suite
    je remarque egalement que la difference entre les denominateurs successifs est :2 ; 4 ;8 ;16 ;32 ;64
    mais je n'arrive pas a ecrire Un en fonction de n......


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Piste,

    J'appelle D le dénominateur

    d(u0)=1 d(u1)d(u0)=21 d(u2)d(u1)=22 d(u3)d(u2)=23 etcd(u_0)=1 \ d(u_1)-d(u_0)=2^1 \ d(u_2)-d(u_1)=2^2 \ d(u_3)-d(u_2)=2^3 \ etc

    donc

    d(u1)=1+11 d(u2)=1+21+22 d(u3)=1+21+22+23 etcd(u_1)=1+1^1 \ d(u_2)=1+2^1+2^2 \ d(u_3)=1+2^1+2^2+2^3 \ etc

    Tu peux conjecturer que

    d(un)=1+21+22+23+...+2nd(u_n)=1+2^1+2^2+2^3+...+2^n

    Je te laisse calculer cette somme (somme des termes d'une suite géométrique)

    D'où la conjecture sur UnU_n:

    un=11+21+22+23+...+2nu_n=\frac{1}{1+2^1+2^2+2^3+...+2^n}

    Bien sûr, tu remplaces la dénominateur par l'expression réduite que tu as trouvée.



  • merci beaucoup pour votre réponse


  • Modérateurs

    Si tu veux vérifier ta réponse, je t'indique ce que tu dois trouver comme conjecture :

    un=12n+11u_n=\frac{1}{2^{n+1}-1}

    J'image qu'ensuite, il va falloir que tu la démontres, cette conjecture.



  • j ai trouvé la bonne reponse pour Un,merci
    maintenant j'essaye de demontrer cette conjecture, et la j'ai un soucis parce que le "k" est dans la partie denominateur......je n'arrive pas a s'implifier.....



  • 1 /{(2+........2k+2(k+1))-1}


  • Modérateurs

    Très bizarre tes affirmations...

    Je ne suis pas sûre que tu aies trouvé la bonne réponse pour la conjecture de Un, c'est à dire12n+11\frac{1}{2^{n+1}-1}

    Quand tu l'auras vraiment trouvé, fais une démonstration par récurrence .



  • pour Un j ai bien trouve 12(n+1)1\frac{1}{2(n+1)-1}
    j'ai une hypothese de recurrence qui fait 1/( 2^0+2^1+ ...+2^k)=1/ (-1+2^(k+1))
    soit k+1=1 / (2^0+^2^1+...+2^(k+1) = 1/(-1+2^(k+1)+1

    donc on se sert de l'hypothèse de récurrence :

    1/(2^0+2^1+...+2^k+2^(k+1) ) = 1/-1+2^k+1+ 2^(k+1) ( on rajoute le 2^(k+1) à la l'hypothèse.
    On veut arriver à 1/(-1+2^k+2) ,mais je n'y arrive pas



  • je pense avoir trouvé: -1 +2 (k+1) +2 (k+1)=-1+2*2(k+1)=-1+2(k+2)
    on a donc1/-1+2(k+2)


  • Modérateurs

    Je ne comprends pas très bien tes calculs...

    Piste pour la démonstration par récurrence de :

    Pour tout n de N :

    un=12n+11\fbox{u_n=\frac{1}{2^{n+1}-1}}

    Initialisation pour n=0

    Par hypothèse u0=1u_0=1

    Il te reste à vérifier que

    120+11=0\frac{1}{2^{0+1}-1}=0

    donc :

    u0=120+11u_0=\frac{1}{2^{0+1}-1}

    Tansmission (ou hérédité )

    A un ordre k de N, on suppose que :

    uk=12k+11\fbox{u_k=\frac{1}{2^{k+1}-1}}

    Il faut que tu démontres que la propriété est vraie à l'ordre (k+1), c'est à dire que :

    uk+1=12k+21\fbox{u_{k+1}=\frac{1}{2^{k+2}-1}}

    Pour cela, tu utilises l'hypothèse de l'énoncé :

    uk+1=ukuk+2u_{k+1}=\frac{u_k}{u_k+2}

    Tu remplaces UkU_k par l'expression12k+11\frac{1}{2^{k+1}-1}

    Je te laisse transformer cela pour obtenir :

    uk+1=12k+21u_{k+1}=\frac{1}{2^{k+2}-1}



  • d accord
    merci beaucoup pour votre aide


  • Modérateurs

    De rien !


 

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